定义

一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。

推导

截取某时刻的状态，P为此时轨迹上的点，C为圆心，T为圆与x轴的交点。现在我们需要求点P的坐标与圆转动的角度 θ \theta θ之间的关系。

由向量的加法运算法则可知
O P → = O T → + T C → + C P → \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OT}+\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CP} OP =OT +TC +CP
由于 ∣ O T → ∣ \left| \overrightarrow{OT} \right| ∣∣∣OT ∣∣∣为圆滚动的距离，即与圆弧 T P ⌢ \overset{\LARGE{\frown}}{TP} TP⌢长度相等，由扇形计算公式可得 T P ⌢ = r θ \overset{\LARGE{\frown}}{TP}=r\theta TP⌢=rθ
所以
O T → = ( r θ , 0 ) \overrightarrow{OT}=\left( r\theta ,0 \right) OT =(rθ,0)
易得
T C → = ( 0 , r ) \overrightarrow{TC}=\left( 0,r \right) TC =(0,r)
由几何关系可得
P Q = r sin ⁡ θ , C Q = r cos ⁡ θ PQ=r\sin \theta \ ,\ CQ=r\cos \theta PQ=rsinθ , CQ=rcosθ
所以
C P → = ( − r sin ⁡ θ , − r cos ⁡ θ ) \overrightarrow{CP}=\left( -r\sin \theta ,-r\cos \theta \right) CP =(−rsinθ,−rcosθ)
最后可以求得
O P → = ( r θ − r sin ⁡ θ , r − r cos ⁡ θ ) \overrightarrow{OP}=\left( r\theta -r\sin \theta ,r-r\cos \theta \right) OP =(rθ−rsinθ,r−rcosθ)
点P的坐标为
( r θ − r sin ⁡ θ , r − r cos ⁡ θ ) \left( r\theta -r\sin \theta ,r-r\cos \theta \right) (rθ−rsinθ,r−rcosθ)
综上可得，摆线的方程为
{ x ( θ ) = r θ − r sin ⁡ θ y ( θ ) = r − r cos ⁡ θ \left\{ \begin{array}{l} x\left( \theta \right) =r\theta -r\sin \theta\\ y\left( \theta \right) =r-r\cos \theta\\ \end{array} \right. {x(θ)=rθ−rsinθy(θ)=r−rcosθ

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