文章目录

自相关函数
功率谱密度
平稳随机信号的功率谱密度
维纳-辛钦定理
参考文献

维纳-辛钦定理，又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理或辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出：任意一个均值为常数的广义平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换

f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）：

维纳辛钦定理的证明一
维纳辛钦定理的证明二

自相关函数

R ( τ ) = E [ x ( t ) x ˉ ( t − τ ) ] R(\tau) = E[x(t)\bar{x}(t-\tau)] R(τ)=E[x(t)xˉ(t−τ)]
自相关函数的定义是乘积的数学期望。

功率谱密度

平稳随机信号的功率谱密度是由确定信号的能量谱密度及功率谱密度引申来的

对于任意信号 x ( t ) x(t) x(t)，定义信号的能量，
E ≜ lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t E \triangleq \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt E≜T→∞lim∫−TT∣x(t)∣2dt=∫−∞∞∣x(t)∣2dt
和功率
P ≜ lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P \triangleq \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt P≜T→∞lim2T1∫−TT∣x(t)∣2dt

记
x T ( t ) = { x ( t ) , ∣ t ∣ < T 0 , ∣ t ∣ > T x_T(t) = \left\{ \begin{array}{ll} x(t), & |t| < T\\ 0, & |t| > T \end{array} \right. xT(t)={x(t),0,∣t∣<T∣t∣>T
及其傅里叶变换
X T ( ω ) = ∫ − T T x T ( t ) e − j ω t d t X_T(\omega) = \int_{-T}^{T} x_{T}(t) e^{-j\omega t} dt XT(ω)=∫−TTxT(t)e−jωtdt

根据帕塞瓦尔（Parseval）定理，频域和时域上对同一信号所求的能量相等：
E ≜ lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ lim ⁡ T → ∞ ∣ X T ( ω ) ∣ 2 d ω E \triangleq \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \lim_{T \to \infty} |X_T(\omega)|^2 d \omega E≜T→∞lim∫−TT∣x(t)∣2dt=2π1∫−∞∞T→∞lim∣XT(ω)∣2dω
P = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∣ X T ( ω ) ∣ 2 d ω P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} |X_T(\omega)|^2 d \omega P=T→∞lim2T1∫−TT∣x(t)∣2dt=2π1∫−∞∞T→∞lim2T1∣XT(ω)∣2dω
故信号的功率谱密度为：
G ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ ∣ X T ( ω ) ∣ 2 2 T G(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{|X_T(\omega)|^2}{2T} G(ω)=T→∞lim2T∣XT(ω)∣2

平稳随机信号的功率谱密度

考虑平稳随机信号 { x ( t ) } \{x(t)\} {x(t)}，对于其每一个样本 x ( k ) ( t ) x^{(k)}(t) x(k)(t)有
G ( k ) ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ ∣ X T ( k ) ( ω ) ∣ 2 2 T G^{(k)}(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{|X^{(k)}_T(\omega)|^2}{2T} G(k)(ω)=T→∞lim2T∣XT(k)(ω)∣2

取期望
G ( ω ) = E [ G ( k ) ( ω ) ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∣ X T ( k ) ( ω ) ∣ 2 ] (1) \begin{aligned} G (\omega) &=E[G^{(k)}(\omega) ] \\ &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} E\left[ \left|X^{(k)}_T(\omega) \right|^2\right] \tag{1} \end{aligned} G(ω)=E[G(k)(ω)]=T→∞lim2T1E[∣∣∣XT(k)(ω)∣∣∣2](1)为随机过程 x ( t ) x(t) x(t) 的平均功率谱密度函数

维纳-辛钦定理

G ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∣ X ( k ) ( ω ) ∣ 2 ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T E [ ∫ − T T ∫ − T T x ( k ) ( t 1 ) x ˉ ( k ) ( t 2 ) e − j ω ( t 1 − t 2 ) d t 1 d t 2 ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T [ ∫ − T T ∫ − T T E [ x ( k ) ( t 1 ) x ˉ ( k ) ( t 2 ) ] e − j ω ( t 1 − t 2 ) d t 1 d t 2 ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T [ ∫ − T T ∫ − T T R ( t 1 , t 2 ) e − j ω ( t 1 − t 2 ) d t 1 d t 2 ] \begin{aligned} G (\omega) &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} E\left[|X^{(k)}(\omega)|^2\right] \\\\ &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} E\left[ \int_{-T}^T \int_{-T}^T x^{(k)}(t_1) \bar{x}^{(k)}(t_2)e^{-j\omega (t_1-t_2)} dt_1 dt_2 \right] \\\\ &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \left[ \int_{-T}^T \int_{-T}^T E[x^{(k)}(t_1) \bar{x}^{(k)}(t_2)] e^{-j\omega (t_1-t_2)} dt_1 dt_2 \right] \\\\ &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \left[ \int_{-T}^T \int_{-T}^T R(t_1, t_2) e^{-j\omega (t_1-t_2)} dt_1 dt_2 \right] \end{aligned} G(ω)=T→∞lim2T1E[∣X(k)(ω)∣2]=T→∞lim2T1E[∫−TT∫−TTx(k)(t1)xˉ(k)(t2)e−jω(t1−t2)dt1dt2]=T→∞lim2T1[∫−TT∫−TTE[x(k)(t1)xˉ(k)(t2)]e−jω(t1−t2)dt1dt2]=T→∞lim2T1[∫−TT∫−TTR(t1,t2)e−jω(t1−t2)dt1dt2]
记 r e c t ( z ) = { 1 , ∣ z ∣ ≤ 0.5 0 , o t h e r w i s e \displaystyle{rect(z) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & |z| \leq 0.5\\0, & otherwise\end{array} \right.} rect(z)={1,0,∣z∣≤0.5otherwise

def rect(x):y = np.zeros_like(x)y[np.abs(x) < 0.5] = 1return yx = np.linspace(-2, 2, 1000)
y = rect(x)
plt.plot(x,y)
plt.title('rect')
plt.ylim([-1,2])

令 τ = t 1 − t 2 \tau = t_1 - t_2 τ=t1−t2，
G ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T [ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ r e c t ( t 1 2 T ) r e c t ( t 2 2 T ) R ( t 1 , t 2 ) e − j ω ( t 1 − t 2 ) d t 1 d t 2 ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T [ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ r e c t ( t 2 + τ 2 T ) r e c t ( t 2 2 T ) R ( τ ) e − j ω ( τ ) d τ d t 2 ] = ∫ − ∞ ∞ [ lim ⁡ T → ∞ ∫ − ∞ ∞ 1 2 T r e c t ( t 2 + τ 2 T ) r e c t ( t 2 2 T ) d t 2 ] R ( τ ) e − j ω ( τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ [ lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T 1 2 T r e c t ( t 2 + τ 2 T ) d t 2 ] R ( τ ) e − j ω ( τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ [ lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T 1 2 T r e c t ( t + τ 2 T ) d t ] R ( τ ) e − j ω ( τ ) d τ \begin{aligned} G (\omega) &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \left[ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty rect(\frac{t_1}{2T}) rect(\frac{t_2}{2T})R(t_1, t_2) e^{-j\omega (t_1-t_2)} dt_1 dt_2 \right] \\\\ &= \lim_{T\to \infty} \frac{1}{2T} \left[ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty rect(\frac{t_2+\tau}{2T}) rect(\frac{t_2}{2T})R(\tau) e^{-j\omega (\tau)} d\tau dt_2 \right] \\\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left[\lim_{T\to \infty} \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{2T} rect(\frac{t_2+\tau}{2T}) rect(\frac{t_2}{2T}) dt_2 \right] R(\tau) e^{-j\omega (\tau)} d\tau \\\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left[\lim_{T\to \infty} \int_{-T}^T \frac{1}{2T} rect(\frac{t_2+\tau}{2T}) dt_2 \right] R(\tau) e^{-j\omega (\tau)} d\tau \\\\ &= \int_{-\infty}^\infty \left[\lim_{T\to \infty} \int_{-T}^T \frac{1}{2T} rect(\frac{t+\tau}{2T}) dt \right] R(\tau) e^{-j\omega (\tau)} d\tau \\\\ \end{aligned} G(ω)=T→∞lim2T1[∫−∞∞∫−∞∞rect(2Tt1)rect(2Tt2)R(t1,t2)e−jω(t1−t2)dt1dt2]=T→∞lim2T1[∫−∞∞∫−∞∞rect(2Tt2+τ)rect(2Tt2)R(τ)e−jω(τ)dτdt2]=∫−∞∞[T→∞lim∫−∞∞2T1rect(2Tt2+τ)rect(2Tt2)dt2]R(τ)e−jω(τ)dτ=∫−∞∞[T→∞lim∫−TT2T1rect(2Tt2+τ)dt2]R(τ)e−jω(τ)dτ=∫−∞∞[T→∞lim∫−TT2T1rect(2Tt+τ)dt]R(τ)e−jω(τ)dτ
其中
lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T 1 2 T r e c t ( t + τ 2 T ) d t = { 1 − ∣ τ ∣ 2 T , ∣ τ ∣ ≤ 2 T 0 , o t h e r w i s e \lim_{T\to \infty} \int_{-T}^T \frac{1}{2T} rect(\frac{t+\tau}{2T}) dt = \left\{\begin{array}{ll} 1 - \frac{|\tau|}{2T}, & |\tau| \leq 2T\\0, & otherwise\end{array} \right. T→∞lim∫−TT2T1rect(2Tt+τ)dt={1−2T∣τ∣,0,∣τ∣≤2Totherwise
对所有 τ ∈ ( − ∞ , ∞ ) \tau \in (-\infty, \infty) τ∈(−∞,∞) 都有
lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T 1 2 T r e c t ( t + τ 2 T ) d t = 1 \lim_{T\to \infty} \int_{-T}^T \frac{1}{2T} rect(\frac{t+\tau}{2T}) dt = 1 T→∞lim∫−TT2T1rect(2Tt+τ)dt=1
故
G ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω ( τ ) d τ G (\omega) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{-j\omega (\tau)} d\tau G(ω)=∫−∞∞R(τ)e−jω(τ)dτ

参考文献

https://wenku.baidu.com/view/27c51589d15abe23482f4d92.html
https://wenku.baidu.com/view/98a78165f5335a8102d2208e.html?sxts=1601260991985&word=%E7%BB%B4%E7%BA%B3%E8%BE%9B%E9%92%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E8%AF%81%E6%98%8E

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