AcWing 913. 排队打水 (排序不等式)

2024-05-11 18:38:37

AcWing 913. 排队打水

有 n n n 个人排队到 1 1 1 个水龙头处打水，第 i i i 个人装满水桶所需的时间是 t i t_{i} ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？

输入格式

第一行包含整数 n n n。

第二行包含 n n n 个整数，其中第 i i i 个整数表示第 i i i 个人装满水桶所花费的时间 t i t_{i} ti

输出格式

输出一个整数，表示最小的等待时间之和。

数据范围

1 ≤ n ≤ 1 0 5 1 \leq n \leq 10^{5} 1≤n≤105
1 ≤ t i ≤ 1 0 4 1 \leq t_{i} \leq 10^{4} 1≤ti≤104

思路

将时间按照从小到大的顺序排队，总时间最小

证明:反证法

假设 t i > t i + 1 t_{i} > t_{i+1} ti>ti+1

有 t i ∗ ( n − i ) + t i + 1 ∗ ( n − i − 1 ) t_{i}*(n-i) + t_{i+1}*(n-i-1) ti∗(n−i)+ti+1∗(n−i−1)①

交换 t i t_{i} ti和 t i + 1 t_{i+1} ti+1 有 t i + 1 ∗ ( n − i ) + t i ∗ ( n − i − 1 ) t_{i+1}*(n-i)+t_{i}*(n-i-1) ti+1∗(n−i)+ti∗(n−i−1)②

①-②得 t i − t i + 1 t_{i} - t_{i+1} ti−ti+1 而 t i > t i + 1 t_{i} > t_{i+1} ti>ti+1 ∴ \therefore ∴交换后总时间变小

若想使总时间最小则 t i t_{i} ti应该从小到大排序即 t i < t i + 1 t_{i}<t_{i+1} ti<ti+1

代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;
int a[N], n;int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &a[i]);}sort(a, a + n);LL res = 0;for (int i = 0; i < n; ++i)res += a[i] * (n - i - 1);cout << res << endl;return 0;
}

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