算法之美——求两直线交点（三维叉积）——求四边形面积（二维叉积）

一般方程法：

直线的一般方程为F(x) = ax + by + c = 0。既然我们已经知道直线的两个点，假设为(x0,y0), (x1, y1)，那么可以得到a = y0 – y1, b = x1 – x0, c = x0y1 – x1y0。

因此我们可以将两条直线分别表示为

F0(x) = a0*x + b0*y + c0 = 0, F1(x) = a1*x + b1*y + c1 = 0

那么两条直线的交点应该满足

a0*x + b0*y +c0 = a1*x + b1*y + c1

由此可推出

x = (b0*c1 – b1*c0)/D

y = (a1*c0 – a0*c1)/D

D = a0*b1 – a1*b0， (D为0时，表示两直线重合)

二者实际上就是连立方程组F0(x) = a0*x + b0*y + c0 = 0, F1(x) = a1*x + b1*y + c1 = 0的叉积应用

i j k

a0 b0 c0

a1 b1 c1

[cpp] view plaincopy print?

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
struct Point
{
double x;
double y;
};
struct Line
{
Point p1,p2;
double a,b,c;
};
void GetLinePara(Line &l)
{
l.a=l.p1.y-l.p2.y;
l.b=l.p2.x-l.p1.x;
l.c=l.p1.x*l.p2.y-l.p1.y*l.p2.x;
}
Point getCrossPoint(Line &l1,Line &l2)
{
GetLinePara(l1);
GetLinePara(l2);
double D=l1.a*l2.b-l2.a*l1.b;
Point p;
p.x=(l1.b*l2.c-l2.b*l1.c)/D;
p.y=(l1.c*l2.a-l2.c*l1.a)/D;
return p;
}
int main()
{
Line L1,L2;
while(true)
{
cout<<"Line1:\n"<<"Point1.x: ";
cin>>L1.p1.x;
cout<<"Point1.y: ";
cin>>L1.p1.y;
cout<<"Line1:\n"<<"Point2.x: ";
cin>>L1.p2.x;
cout<<"Point2.y: ";
cin>>L1.p2.y;
cout<<"Line2:\n"<<"Point1.x: ";
cin>>L2.p1.x;
cout<<"Point1.y: ";
cin>>L2.p1.y;
cout<<"Line2:\n"<<"Point2.x: ";
cin>>L2.p2.x;
cout<<"Point2.y: ";
cin>>L2.p2.y;
cout<<endl;
Point PointCross=getCrossPoint(L1,L2);
cout<<"CrossPoint.x:"<<PointCross.x<<endl;
cout<<"CrossPoint.y:"<<PointCross.y<<endl;
cout<<endl;
}
}

ZOJ Problem Set - 1683

题目大意：

在1*1的正方形格子上给出每边的两个点，按顺序连接对边的点，求这样形成的一系列四边形中最大的面积。

思路：

1. 求交点

见函数GetCrossPoint (http://blog.csdn.NET/abcjennifer/article/details/7584628)

2. 求面积

四边形面积可由两个三角形面积相加而得，这里使用叉积，因为三角形的两个向量边叉乘的结果为其所形成的平行四边形面积，所以三角形面积为1/2×向量边1 x 向量边2

见函数GetArea()

Code:

[cpp] view plaincopy print?

#include"iostream"
#include"stdio.h"
#include"math.h"
using namespace std;
#define N 40
int n;
struct Point {
double x;
double y;
} pset[N + 1][N + 1];
struct Line {
void L(Point pp1, Point pp2) {
p1 = pp1;
p2 = pp2;
}
Point p1, p2;
double a, b, c;
} lineset[N][N];
void GetLinePara(Line *l) {
l->a = l->p1.y - l->p2.y;
l->b = l->p2.x - l->p1.x;
l->c = l->p1.x * l->p2.y - l->p2.x * l->p1.y;
}
Point GetCrossPoint(Line *l1, Line *l2) {
GetLinePara(l1);
GetLinePara(l2);
double D = l1->a * l2->b - l2->a * l1->b;
Point p;
p.x = (l1->b * l2->c - l2->b * l1->c) / D;
p.y = (l1->c * l2->a - l2->c * l1->a) / D;
return p;
}
double Xmult(Point a, Point b, Point c)//get vector ac and bc 计算两个二维向量叉积，两条边界向量
{
return (c.x - a.x) * (c.y - b.y) - (c.y - a.y) * (c.x - b.x);
}
double GetArea(int i, int j) {
double area1 = Xmult(pset[i][j], pset[i + 1][j], pset[i + 1][j + 1]) / 2;
double area2 = Xmult(pset[i][j], pset[i][j + 1], pset[i + 1][j + 1]) / 2;
return fabs(area1) + fabs(area2);
}
void Init_Points() {
int i;
for (i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lf", &pset[i][0].x), pset[i][0].y = 0;
for (i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lf", &pset[i][n + 1].x), pset[i][n + 1].y = 1;
for (i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lf", &pset[0][i].y), pset[0][i].x = 0;
for (i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lf", &pset[n + 1][i].y), pset[n + 1][i].x = 1;
pset[0][0].x = pset[0][0].y = 0;
pset[n + 1][0].x = 1, pset[n + 1][0].y = 0;
pset[0][n + 1].x = 0, pset[0][n + 1].y = 1;
pset[n + 1][n + 1].x = pset[n + 1][n + 1].y = 1;
}
void Init_Lines() {
int i, j;
Line l1, l2;
for (i = 1; i <= n; i++) {
for (j = 1; j <= n; j++) {
l1.L(pset[i][0], pset[i][n + 1]);
l2.L(pset[0][j], pset[n + 1][j]);
pset[i][j] = GetCrossPoint(&l1, &l2);
}
}
}
int main() {
int i, j;
while (cin >> n&&n) {
Init_Points();
Init_Lines();
double maxarea = 0;
double area;
for (i = 0; i < n + 1; i++)
for (j = 0; j < n + 1; j++) {
area = GetArea(i, j);
maxarea = area > maxarea ? area : maxarea;
}
printf("%lf\n", maxarea);
}
}

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