蓝桥杯算法训练-印章

这一题是10月份新加的题，网上也没啥答案，标签为dp动态规划，实际上我觉得不用动态规划也能做，毕竟python是自带了求组合数的函数，下面来看一下吧。

试题算法训练印章

资源限制

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

　　共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。

输入格式

　　一行两个正整数n和m

输出格式

　　一个实数P表示答案，保留4位小数。

样例输入

2 3

样例输出

0.7500

数据规模和约定

1≤n，m≤20

解题思路：

其实是很基础的概率问题，有n种印章，买了m个；其实可以转化为m个小球放入n个盒子中，每个盒子不限数量，求每个盒子至少一个球的概率，还不好求，再转化成（1-至少一个盒子为空的概率）。

设某一盒子为空的事件为Ai，可以得出：

$P\left \{Ai \right \} = \left ( 1-\frac{1}{n} \right )^{m}$

$P\left \{ AiAj \right \} = \left ( 1-\frac{2}{n} \right )^{m}$

……

由相容的n个事件的和的概率公式可得，至少有一个盒子为空的概率为：

$P\left \{ B \right \} = C_{n}^{1}\textrm{} \left ( 1-\frac{1}{n} \right )^{m}-C_{n}^{2} \textrm{} \left ( 1-\frac{2}{n} \right )^{m}+C_{n}^{3} \textrm{} \left ( 1-\frac{3}{n} \right )^{m}-...+(-1)^{n-2}C_{n}^{n-1} \textrm{} \left ( 1-\frac{n-1}{n} \right )^{m}$

那么所有盒子都装有球的概率（集齐印章的概率）为：

$P\left \{ C \right \} = 1 - P\left \{ B \right \}$

python实现，代码如下：

n, m = map(int, input().split())
def quick_multi(n, m):# 快速幂，n的m次方，其实直接调用python的求幂的函数也可以，我为了是练习一下res = 1while m > 0:if m & 1:res *= nn *= nm = m >> 1return res
def compose_dp(num):# 动态规划求组合数，利用C(n,m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)可以逐个求出# 初始化的数组全为1，且会多出一行一列，作为m=1或n=1时计算使用，操作时C(n,m)就对应数组的dp_comb[n][m]dp_comb = [[1 for i in range(num + 1)] for j in range(num + 1)]# 行序号定为n，列序号定为m，从n个元素中选m个出来组合，m==n时为1for n in range(2, num + 1):for m in range(1, n):dp_comb[n][m] = dp_comb[n-1][m] + dp_comb[n-1][m-1]# 虽然我们建立了从C(0,0)到C(num,num)的所有组合数可能，但本题只会用到C(num,1)到C(num,num-1)return dp_comb
def probability(n, m):if n > m:   # 如果买的还没种类多肯定不可能集齐prob = 0.0else:   # 如果买的比种类多# 计算出至少有一种印章没有集齐的概率p，用1-p即为所有印章都集齐的概率if n == 1:prob = 1.0else:# 先获取的动态规划的组合数数组（只需要取最后一行即可）dp_comb = compose_dp(n)[n]#print(dp_comb)p = 0for i in range(1, n):p += dp_comb[i] * quick_multi((1 - i / n), m) * quick_multi(-1, i - 1)prob = 1 - preturn prob
res = probability(n, m)
print('%.4f' % res)

ps：应该还有直接计算每个盒子至少有一个概率的方法，但是可能我脑子不太好使觉得太麻烦，欢迎大家讨论、改进！