判断素数(质数)高效算法

最近看到一篇高效的素数判断算法文章，但是文章中有些部分写的还不够完整清晰，所以在此详细记录一下此算法理解过程。(理解此算法前应先明白使用 sqrt(num) 为判断条件判断素数的方法)

此算法产生的原因(定理)：凡是大于5的素数一定与6的倍数相邻

相关证明过程可以去文章末尾的参考博客中查看

由定理可以直接写出算法：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;bool isPrime(int num)
{if(num==2 || num==3 )return true; if(num%6!=1 && num%6!=5)return false;elsereturn true;
}int main(){//验证算法for(int i=2 ; i<=100 ; i++){if(isPrime(i))cout<<i<<"是素数"<<endl;elsecout<<i<<"不是素数"<<endl;}return 0;
}

运行一下程序，发现此算法是不完整的，

由此我们可以得出结论：凡是大于5的素数一定与6的倍数相邻，但与6的倍数相邻不一定是素数

想要完善此算法，先想一想为什么会把25、35、49等数判为素数呢?

我们通过分解25、35、49的因数发现这些数的共同点：都有因数与6的倍数相邻

例如：25的因数5，35的因数5、7，49的因数7

经过if判断后，剩下的数字都是与6的倍数相邻的数字

5、7、11、13、···、23、25、29、31、35、37、······

出现问题的原因就是：因为这些与6的倍数相邻的数字中有些数字是其他数字的因数

由此就可以写出完善的算法了：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;bool isPrime(int num)
{if(num==2 || num==3 )return true; if(num%6!=1 && num%6!=5)return false;int tmp=sqrt(num);//步长为6的原因是，只需要判断该数是否有因数在6的倍数旁边   for(int i=5 ; i<=tmp ; i+=6 )   if(num%i==0 || num%(i+2)==0 )  //加2是因为与6的倍数相邻的数有两个 return false;return true;}int main(){for(int i=2 ; i<=100 ; i++){if(isPrime(i))cout<<i<<"是素数"<<endl;elsecout<<i<<"不是素数"<<endl;}return 0;
}

可以直接比较一下此算法与直接sqrt(num)的算法速度(测试数据量900万)：

参考博客:判断一个数是否为质数/素数——从普通判断算法到高效判断算法思路_huang_miao_xin的博客-CSDN博客_判断素数

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