三人同行七十稀 - 中国剩余定理浅析

我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩2，问物几何？）用四句诗概括这类问题的解决：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”

这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为中国剩余定理或孙子定理，是我国古代数学的一项辉煌成果。

<经典例题>

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

<解题策略>

我们就从上述四句诗中来找答案：

三人同行七十稀，把除以3所得的余数用70乘。
    五树梅花日一枝，把除以5所得的余数用21乘。
    七子团圆正半月，把除以7所得的余数用15剩。
    除百零五便得知，把上述三个积加起来，减去105的倍数，所得的差即为所求。

列式为：2×70＋3×21＋2×15=233，233－105×2=23。

为什么70，21，15，105有如此神奇作用？70，21，15，105是从何而来？

先后70，21，15，105的性质：
    70除以3余1，被5，7整除，所以70a除以3余a，也被5，7整除；
    21余以5余1，被3，7整除，所以21b除以5余b，也被3，7整除；
    15除以7余1，被3，5整除，所以15c除以7余c，被3，5整除。
    而105则是3，5，7的最小公倍数。

总之来说：70a＋21b＋15c是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数如果大了，还要减去它们的公倍数。

现在我们来提出别外一种解法，本质上是与上述方法相同，请大家不妨仔细体会一下。

先把题目改动一下：“今有物不知数，五五数之余二，七七数之余二，九九数之余四，问物几何？”

先找除以9余4的数：4，13，22，31，40，49，58，67……
    其中除以7余2的数有：58。
    但58除以5不余2，用58加上7和9的最小公倍数63，直到加成除以5余2为止：58，121，184，247……
    其中247即为所求。

<画龙点睛>

在中国剩余定理这类问题中，我们实际上运用的是余数的加法定理和减法定理：

如果一个数A除以除数后余数为a，一个数B除以相同的除数后余数为b，那么A+B除以相同的除数后余数为a+b，A-B除以相同的除数后余数为a-b.

<举一反三>

1．一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，请找出适合条件的最小数。

2、秦末期间，楚汉相争，萧何向汉王刘邦推荐了年轻的韩信，拜韩信为大将军。据说韩信点兵不要求士兵报数，只要士兵排队。有一次，队伍排成5列纵队末行1人；6列纵队末行5人；7列纵队末行4人；11行纵队末行10人。若韩信的士兵人数为2000多人，请算一算韩信有多少士兵？

3、一个三位数除以9余6，除以4余2，除以5余1，这个三位数最大是多少？
   9、4、5两两互素，m＝9×4×5＝180
   M1=20, M1`=5, M2=45, M2`=1, M3=36, M3`=1
   20*5*6+45*1*2+36*1*1=726
   最大的三位数：726＋180＝906

<融会贯通>

4、一个圆圈上有几十个孔，小明从A孔出发，沿着圆圈逆时针方向，每隔2孔跳一步，结果跳到了B孔；如果每隔4孔跳一步，结果也只跳到B孔；如果每隔6孔跳一步，正好跳回A孔，你知道圆圈上共有多少个孔吗？（B孔在A孔的右边，即如果从A编号为1进行逆时针编号，B孔的编号正好是孔数）

孔数为x，x除以3余1，除以5余1，是7的倍数。
    3,5,7两两互素，m＝3×5×7＝105
    M1=35, M1`=2, M2=21, M2`=1
    35*2*1+21*1*1=91

    普通思路：我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上很容易看出应在1,4,7,10,……上.也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1.按题意,小明最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1.

同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A,就意味着总孔数是7的倍数.

如果将孔数减1,那么得数是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数.这个15的倍数加上1就等于孔数,而且能被7整除.注意15被7除余1,所以15×6被7除余6,15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出,15的其他(小于7的)倍数加1都不能被7整除,而15×7=105已经大于100,7以上的倍数都不必考虑.因此,总孔数只能是15×6+l=91.

一般的小题用普通思路就ok啦，孙子定理在求解复杂同余式组才能显示它的优越性，用在小题反而有小题大作之嫌。
转载：http://xmuzzx.blog.hexun.com/13939890_d.html

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