修路方案(次小生成树)
修路方案
- 描述
-
南将军率领着许多部队,它们分别驻扎在N个不同的城市里,这些城市分别编号1~N,由于交通不太便利,南将军准备修路。
现在已经知道哪些城市之间可以修路,如果修路,花费是多少。
现在,军师小工已经找到了一种修路的方案,能够使各个城市都联通起来,而且花费最少。
但是,南将军说,这个修路方案所拼成的图案很不吉利,想让小工计算一下是否存在另外一种方案花费和刚才的方案一样,现在你来帮小工写一个程序算一下吧。
- 输入
- 第一行输入一个整数T(1<T<20),表示测试数据的组数 每组测试数据的第一行是两个整数V,E,(3<V<500,10<E<200000)分别表示城市的个数和城市之间路的条数。数据保证所有的城市都有路相连。 随后的E行,每行有三个数字A B L,表示A号城市与B号城市之间修路花费为L。
- 输出
- 对于每组测试数据输出Yes或No(如果存在两种以上的最小花费方案则输出Yes,如果最小花费的方案只有一种,则输出No)
- 样例输入
-
2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 4 4 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 1 2
- 样例输出
-
No Yes题解:让找是否存在多个最小生成树;枚举每条不在最小生成树中的边,添加这条边到树中,形成一个环,再删除环中不是这条边的最大边;看是否与最小生成树的权值和相等;存在就是yes大神的解释:
解题思路:花费最少且任意两个城市能够相同,则说明要求最小生成树。而题目中问是否存在另外一种方案,达到
最小生成树的效果,所以可以采用次小生成树
常用的一种方法就是在求出最小生成树的基础上进行添加边
具体实现:先用prim算法求出最小生成树,并且统计任意一点到其他各点的路径上的最大边权。然后添加改生成树上没有的边(u,v),添加一条边后就会形成环,
然后删除该环中权值大二大的边(即除(u,v)之外的最大权值的边),然后再次统计此时的的费用,如果和最小生生成树的费用相同,则说明存在另外一种方案。
其中:
mp!=-1代表不在最小生成树中的边,mx[i][j]代表i到j的最大边,主判断sum-mx[i][j]+mp[i][j]==sum
代码:
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstring> #include<queue> #include<vector> using namespace std; const int INF=0x3f3f3f3f; #define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x)) #define SI(x) scanf("%d",&x) #define PI(x) printf("%d",x) typedef long long LL; const int MAXN=520; int mp[MAXN][MAXN]; int mx[MAXN][MAXN]; int vis[MAXN]; int N,sum; vector<int>vec; void prim(int sx){mem(vis,0);vis[sx]=1;vec.push_back(sx);int u,v;while(vec.size()<N){int temp=INF;for(int i=0;i<vec.size();i++){int x=vec[i];// printf("%d\n",x);for(int j=1;j<=N;j++){if(!vis[j]&&mp[x][j]!=-1){if(temp>mp[x][j]){temp=mp[x][j];u=x;v=j;// printf("u=%d v=%d\n",u,v); }}}}for(int i=0;i<vec.size();i++){int x=vec[i];// printf("u=%d v=%d\n",u,v);if(mx[x][u]<mp[u][v])mx[x][v]=mx[v][x]=mp[u][v];else mx[x][v]=mx[v][x]=mx[x][u];}vec.push_back(v);vis[v]=1;sum+=mp[u][v];mp[u][v]=mp[v][u]=-1;//printf("%d %d %d\n",u,v,vec.size()); } } int main(){int E,T;SI(T);int a,b,c;while(T--){mem(mp,-1);mem(mx,-1);SI(N);SI(E);while(E--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);mp[a][b]=mp[b][a]=c;mx[a][b]=mx[b][a]=c;}sum=0;vec.clear();prim(1);bool ans=false;for(int i=1;i<=N;i++){if(ans)break;for(int j=1;j<=N;j++){if(mp[i][j]!=-1){if(sum-mx[i][j]+mp[i][j]==sum){ans=true;break;}// else printf("mx[%d][%d]=%d\n",i,j,mx[i][j]); }}}if(ans)puts("Yes");else puts("No");}return 0; }
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