信息学奥赛一本通（1281：最长上升子序列）

2024-04-03 23:57:57

1281：最长上升子序列

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【题目描述】

一个数的序列bibi，当b1<b2<...<bSb1<b2<...<bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1,a2,...,aN)(a1,a2,...,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,...,aiK)(ai1,ai2,...,aiK)，这里1≤i1<i2<...<iK≤N1≤i1<i2<...<iK≤N。比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1,3,5,8)。

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

【输入】

输入的第一行是序列的长度N(1≤N≤1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

【输出】

最长上升子序列的长度。

【输入样例】

7
1 7 3 5 9 4 8

【输出样例】

【分析】

算法思想：请见

https://www.bilibili.com/video/BV1ni4y1u7uX?from=search&seid=2791451597285109637&spm_id_from=333.337.0.0

设f[i]表示以a[i]结尾的最长上升子序列。

（1）阶段：子序列结尾的位置，即 i 。

（2）状态：j=1...i，f[j]序列中的每个值都是状态。

（3）决策：a[i]是否加到序列中？

（4）策略：最大化上升子序列长度。

（5）状态转移方程：

（6）边界：f[1...n]=1

（7）目标：max(f[i])

#include <stdio.h>
#define MAXN 1010
int a[MAXN],f[MAXN];  //f[i]表示以a[i]为结尾的最长上升子序列的长度
int max(int x,int y)
{return x > y ? x : y;
}
int main()
{int n;int i,j,ans=1;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);f[i]=1;     // 初始化f[i]}// 动态更新f[i]for(i=2;i<=n;i++){for(j=1;j<i;j++){if(a[i]>a[j])f[i]=max(f[i],f[j]+1);}ans=max(ans,f[i]);}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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