MATLAB计算卷积幂函数,数论小记(示例代码)
人老了,记性就不好,这个文章主要是整理一些定理,方便后面复习。没有证明。
常见的积性函数
单位函数
[epsilon(n)=[n=1]]
欧拉函数
[varphi(n)=nsum(1-frac{1}{p_i})]
表示小于等于n的数字中与n互质的数字个数。
莫比乌斯函数
[mu(x)=egin{cases}1 &(x=1)(-1)^k & x=p_1p_2...p_k\
0 & elseend{cases}]
正因子数
[d(n)=sumlimits_{i|n}1]
因子函数
[sigma_k(n)=sumlimits_{d|n}d^k]
易知(sigma_0(n)=d(n))
(sigma_1(n))一般记作(sigma(n))
常值函数
[1(n)=1]
幂函数
[Id_k(n)=n^k]
特别的,(Id_1(n))常记作(Id(n))
狄利克雷卷积
对于两个数论函数(f),(g)
[f*g(n)=sumlimits_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})]
其中*为狄利克雷卷积的运算符号。如果f和g为积性函数,那么(f*g)也为积性函数。
性质
1.对于任意的数论函数f有
[f*epsilon=f]
2.[Id = 1*varphi]
3.[epsilon=1*mu]
4.[sigma_k=1*Id_k]
莫比乌斯反演
如果(g=f*1)
那么有(f=f*epsilon=f*1*mu=g*mu)
莫比乌斯反演常用卷积:(mu*1=epsilon,Id=1*varphi)
其他小知识点
(lfloorfrac{lfloorfrac{n}{i}floor}{x}floor=lfloorfrac{n}{ix}floor)
(sumlimits_{i=1}^nlfloorfrac{n}{i}floor=sumlimits_{i=1}^nd(i))
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