Numpy中einsum函数用法

一、一维张量收缩
二、二维张量收缩
- 2.1 收缩到零维张量
- 2.2 收缩到一维张量
三、三维张量收缩（重难点）
- 3.1 例1
- 3.2 例2
四、其他功能介绍（次要）
- 功能一：求矩阵的迹
- 功能二：取对角元素
- 功能三：对某个维度求和
- 功能四：矩阵转置
- 功能五：矩阵或向量的内积
- 功能六：矩阵和向量乘法
- 功能七：向量外积

【导读】 einsum全称Einstein summation convention（爱因斯坦求和约定），又称为爱因斯坦标记法。能够计算任何维度的张量收缩。einsum的写法省去了求和符号，显得更加简洁。

一、一维张量收缩

对于一维张量，也即向量（Vector）。其收缩为零维张量，也即标量（Scalar）：

c=∑iaibic =\sum_i a_i b_ic=i∑aibi所以einsum 的写法就是：
c=aibic= a_i b_ic=aibi用代码表示为：

>>> a = np.arange(10)
>>> b = np.arange(10)+1
>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
>>> b
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10])
>>> np.einsum('i,i', a, b)
330

二、二维张量收缩

同样对于二维张量，也即矩阵（Matrix）。其收缩为一维张量或零维张量：

2.1 收缩到零维张量

c=aijaij=∑i,jaijaijc=a_{ij }a_{ij}= \sum_{i,j} a_{ij }a_{ij}c=aijaij=i,j∑aijaij也即求矩阵内积

array([[0, 1],[2, 3],[4, 5]])
>>> np.einsum('ij,ij', a, b)
70

2.2 收缩到一维张量

ci=∑jAijBijc_i = \sum_j A_{ij} B_{ij}ci=j∑AijBij或cj=∑iAijBijc_j = \sum_i A_{ij} B_{ij}cj=i∑AijBij
其中，cic_ici为两矩阵对应位置元素相乘后再把列元素相加；cjc_jcj为两矩阵对应位置元素相乘后把行相加

>>> np.einsum('ij,ij->i', a, b)
array([ 8, 62])
>>> np.einsum('ij,ij->j', a, b)
array([12, 22, 36])

再给出一个例子

>>> a1 = np.array([[0,1],[2,3],[4,5]])
>>> a1
array([[0, 1],[2, 3],[4, 5]])
>>> np.einsum('ji,ij->i', a1, a)
array([10, 40])

再给出一个矩阵与向量的例子

>>> a2 = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
>>> b2 = np.array([1,2])
>
>>> np.einsum('ij,j', a2, b2)
array([ 5, 11, 17])
>>> np.einsum('ij,j->...', a2, b2)    # 收缩到零维
33

再给出一个多个向量的例子

>>> c2 = np.array([1,2,3])
>>> np.einsum('ij,j,i->i', a2, b2, c2)
array([ 5, 22, 51])
>>> np.einsum('ij,j,i->...', a2, b2, c2)  # 收缩到零维
78

三、三维张量收缩（重难点）

由于其组合非常多样，如三维张量与矩阵、向量的爱因斯坦求和运算，收缩到二维、一维、零维，我们不一一讨论。这里我们只给出三维张量之间进行爱因斯坦求和、收缩到二维张量的例子

3.1 例1

>>> a = np.arange(6).reshape(1,2,3)
>>> b = np.arange(24).reshape(2,3,4)
>>> a
array([[[0, 1, 2],[3, 4, 5]]])
>>> b
array([[[ 0,  1,  2,  3],[ 4,  5,  6,  7],[ 8,  9, 10, 11]],[[12, 13, 14, 15],[16, 17, 18, 19],[20, 21, 22, 23]]])>>> np.einsum('ijk,jkl->il', a, b)
array([[220, 235, 250, 265]])

其中，i=1,j=2,k=3,l=4i=1\;,j=2\;,k=3\;,l=4i=1,j=2,k=3,l=4，可知会产生1×41\times41×4的二维张量（矩阵）。
由公式：
Ci,l=aijkbjkl=∑j=01∑k=02aijkbjklC_{i,l} = a_{ijk}b_{jkl}=\sum_{j=0}^1 \sum_{k=0}^2a_{ijk}b_{jkl}Ci,l=aijkbjkl=j=0∑1k=0∑2aijkbjkl
不失一般性，我们验证：C0,0=220C_{0,0} =220C0,0=220
C0,0=a000∗b000+a001∗b010+a002∗b020+a010∗b100+a011∗b110+a012∗b120\begin{aligned}C_{0,0}=a_{000}*b_{000}+a_{001}*b_{010}+a_{002}*b_{020}\\+a_{010}*b_{100}+a_{011}*b_{110}+a_{012}*b_{120}\end{aligned}C0,0=a000∗b000+a001∗b010+a002∗b020+a010∗b100+a011∗b110+a012∗b120
即
C0,0=0∗0+1∗4+2∗8+3∗12+4∗16+5∗20=220C_{0,0}=0*0+1*4+2*8+3*12+4*16+5*20=220C0,0=0∗0+1∗4+2∗8+3∗12+4∗16+5∗20=220
矩阵形式的计算过程：
[012][01234567891011]=[20232629]\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\4&5&6&7\\8&9&10&11\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20&23&26&29\end{bmatrix}[012]⎣⎡04815926103711⎦⎤=[20232629]
[345][121314151617181920212223]=[200212224236]\begin{bmatrix}3&4&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 12&13&14&15\\16&17&18&19\\20&21&22&23\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}200&212&224& 236\end{bmatrix}[345]⎣⎡121620131721141822151923⎦⎤=[200212224236]

[220235250265]=[2023269]+[200212224236]\begin{bmatrix}220&235&250&265\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}20&23&26&9\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}200&212&224& 236\end{bmatrix}[220235250265]=[2023269]+[200212224236]
对于更高维的张量收缩或大规模张量，不方便再用矩阵表示计算过程表示，建议直接由公式计算相关元素。

再给出一个复杂的例子：

3.2 例2

>>> a = np.arange(60.).reshape(3,4,5)
>>> b = np.arange(24.).reshape(4,3,2)
>>> np.einsum('ijk,jil->kl', a, b)
array([[4400., 4730.],[4532., 4874.],[4664., 5018.],[4796., 5162.],[4928., 5306.]])
>>> np.einsum(a, [0,1,2], b, [1,0,3], [2,3])   # 掌握上一种形式就好
array([[4400., 4730.],[4532., 4874.],[4664., 5018.],[4796., 5162.],[4928., 5306.]])

该例中i=3,j=4,k=5,l=2i=3\;,j=4\;,k=5\;,l=2i=3,j=4,k=5,l=2，可知会产生5×25\times25×2的二维张量
由公式：
Ck,l=aijkbjil=∑i=02∑j=03aijkbjilC_{k,l} = a_{ijk}b_{jil}=\sum_{i=0}^2 \sum_{j=0}^3a_{ijk}b_{jil}Ck,l=aijkbjil=i=0∑2j=0∑3aijkbjil
同样，不失一般性验证C0,0=4400C_{0,0}=4400C0,0=4400
C0,0=a000∗b000+a010∗b100+a020∗b200+a030∗b300+a100∗b010+a110∗b110+a120∗b210+a130∗b310+a200∗b020+a210∗b120+a220∗b220+a230∗b320\begin{aligned}C_{0,0}=a_{000}*b_{000}+a_{010}*b_{100}+a_{020}*b_{200}+a_{030}*b_{300}\\+a_{100}*b_{010}+a_{110}*b_{110}+a_{120}*b_{210}+a_{130}*b_{310}\\+a_{200}*b_{020}+a_{210}*b_{120}+a_{220}*b_{220}+a_{230}*b_{320}\end{aligned}C0,0=a000∗b000+a010∗b100+a020∗b200+a030∗b300+a100∗b010+a110∗b110+a120∗b210+a130∗b310+a200∗b020+a210∗b120+a220∗b220+a230∗b320
也即
C0,0=0∗0+5∗6+10∗12+15∗18+20∗2+25∗8+30∗14+35∗20+40∗4+45∗10+50∗16+55∗22=4400\begin{aligned}C_{0,0} &=0*0+5*6+10*12+15*18\\&+20*2+25*8+30*14+35*20\\&+40*4+45*10+50*16+55*22\\&=4400\end{aligned}C0,0=0∗0+5∗6+10∗12+15∗18+20∗2+25∗8+30∗14+35∗20+40∗4+45∗10+50∗16+55∗22=4400

四、其他功能介绍（次要）

功能一：求矩阵的迹

 >>> a = np.arange(25).reshape(5,5)>>> a>>> array([[ 0,  1,  2,  3,  4],[ 5,  6,  7,  8,  9],[10, 11, 12, 13, 14],[15, 16, 17, 18, 19],[20, 21, 22, 23, 24]])>>> b = np.arange(5)>>> barray([0, 1, 2, 3, 4])>>> c = np.arange(6).reshape(2,3)>>> carray([[0, 1, 2],[3, 4, 5]])Trace of a matrix:>>> np.einsum('ii', a)60>>> np.einsum(a, [0,0])60>>> np.trace(a)60

功能二：取对角元素

Extract the diagonal (requires explicit form):>>> np.einsum('ii->i', a)array([ 0,  6, 12, 18, 24])>>> np.einsum(a, [0,0], [0])array([ 0,  6, 12, 18, 24])>>> np.diag(a)array([ 0,  6, 12, 18, 24])

功能三：对某个维度求和

  Sum over an axis (requires explicit form):>>> np.einsum('ij->i', a)array([ 10,  35,  60,  85, 110])>>> np.einsum(a, [0,1], [0])array([ 10,  35,  60,  85, 110])>>> np.sum(a, axis=1)array([ 10,  35,  60,  85, 110])

对于更高维度的矩阵，对某一维度求和可以使用省略号

>>> a = np.arange(27).reshape(3,3,3)
>>> a
array([[[ 0,  1,  2],[ 3,  4,  5],[ 6,  7,  8]],[[ 9, 10, 11],[12, 13, 14],[15, 16, 17]],[[18, 19, 20],[21, 22, 23],[24, 25, 26]]])
>>> np.einsum('...j->...', a)
array([[ 3, 12, 21],[30, 39, 48],[57, 66, 75]])

功能四：矩阵转置

>>> c = np.arange(6).reshape(2,3)
>>> c
array([[0, 1, 2],[3, 4, 5]])
>>> np.einsum('ji', c)
array([[0, 3],[1, 4],[2, 5]])
>>>
>>> np.einsum('ij->ji', c)
array([[0, 3],[1, 4],[2, 5]])
>>> np.einsum(c, [1,0])
array([[0, 3],[1, 4],[2, 5]])
>>> np.transpose(c)
array([[0, 3],[1, 4],[2, 5]])

功能五：矩阵或向量的内积

>>> b = np.arange(5)
>>> b
array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> np.einsum('i,i', b, b)30
>>> np.einsum(b, [0], b, [0])30
>>> np.inner(b,b)30

功能六：矩阵和向量乘法

>>> a = np.arange(6).reshape(2,3)
>>> a
array([[0, 1, 2],[3, 4, 5]])
>>> b = np.arange(3)
>>> b
array([0, 1, 2])
>>> np.einsum('ij,j', a, b)
array([ 5, 14])
>>> np.dot(a,b)
array([ 5, 14])

为减少不必要的重复，接下来代码中不再说明同样功能的其他函数或enisum函数的另一种使用形式
如：

>>> np.einsum('...j->...', a)
array([ 3, 12])
>>> np.einsum(a, [Ellipsis,1], [Ellipsis])
array([ 3, 12])

功能七：向量外积

>>> a
array([0, 1, 2])
>>>
>>> b
array([1, 2, 3])
>>> np.einsum('i,j', a, b)
array([[0, 0, 0],[1, 2, 3],[2, 4, 6]])

Numpy库中einsum函数用法相关推荐

Py之Numpy：Numpy库中常用函数的简介、应用之详细攻略
Py之Numpy:Numpy库中常用函数的简介.应用之详细攻略目录 Numpy库中常用函数的简介.应用 1.X, Y = np.meshgrid(X, Y) 相关文章 Py之Numpy:Numpy库 ...
[转载] Python里面numpy库中zeros()的一些问题
参考链接: Python中的numpy.zeros Python里面numpy库中zeros函数的一些问题定义本文记录了在使用numpy库中的zeros函数时遇到的一些问题定义用法:zeros ...
python中mean的用法_python 的numpy库中的mean()函数用法介绍
1. mean() 函数定义: numpy.mean(a, axis=None, dtype=None, out=None, keepdims=)[source] Compute the arithm ...
Python：Numpy库中的invert()函数的用法
Numpy库中的invert()函数的用法官方解释: Compute bit-wise inversion, or bit-wise NOT, element-wise. Computes the ...
python 的numpy库中的mean()函数用法介绍
这篇文章主要介绍了python 的numpy库中的mean()函数用法介绍,具有很好对参考价值,希望对大家有所帮助.一起跟随小编过来看看吧 mean() 函数定义: 2 mean()函数功能: 求取均 ...
python average函数怎么用_python 的numpy库中的mean()函数用法介绍
1. mean() 函数定义: numpy.mean(a, axis=None, dtype=None, out=None, keepdims=)[source] Compute the arithm ...
Python：numpy库中的一些函数简介、使用方法之详细攻略
Python:numpy库中的一些函数简介.使用方法之详细攻略目录 numpy库中的一些函数简介.使用方法 1.np.concatenate() 1.1.函数案例 1.2.函数用法 numpy库中的 ...
Python的numpy库中rand(),randn(),randint(),random_integers()等random系函数的使用
在使用Python进行数据处理时,往往需要用到大量的随机数据,那如何构造这么多数据呢?Python的第三方库numpy库中提供了random函数来实现这个功能. 本文将根据官方文档以及其他博友的博客一 ...
python numpy库中省略号...的一些用法
在学习<Designing Machine Learning Systems with Python>(<机器学习系统设计Python语言实现>)一书的第五章梯度下降一节代码中 ...

Numpy库中einsum函数用法

Numpy中einsum函数用法

一、一维张量收缩

二、二维张量收缩

2.1 收缩到零维张量

2.2 收缩到一维张量

三、三维张量收缩（重难点）

3.1 例1

3.2 例2

四、其他功能介绍（次要）

功能一：求矩阵的迹

功能二：取对角元素

功能三：对某个维度求和

功能四：矩阵转置

功能五：矩阵或向量的内积

功能六：矩阵和向量乘法

功能七：向量外积

Numpy库中einsum函数用法相关推荐

最新文章

热门文章

Numpy库中einsum函数用法

Numpy中einsum函数用法

一、一维张量收缩

二、二维张量收缩

2.1 收缩到零维张量

2.2 收缩到一维张量

三、三维张量收缩（重难点）

3.1 例1

3.2 例2

四、其他功能介绍（次要）

功能一：求矩阵的迹

功能二：取对角元素

功能三 ：对某个维度求和

功能四：矩阵转置

功能五：矩阵或向量的内积

功能六：矩阵和向量乘法

功能七：向量外积

Numpy库中einsum函数用法相关推荐

最新文章

热门文章

功能三：对某个维度求和