图论入门一：图的基本概念

前言：

图（graph）并不是指图形图像（image）或地图（map）。通常来说，我们会把图视为一种由“顶点”组成的抽象网络，网络中的各顶点可以通过“边”实现彼此的连接，表示两顶点有关联。由此得到我们最基础最基本的2个概念，顶点（vertex）和边（edge）。

基本概念：

一、顶点（vertex）

顶点，表示某个事物或对象。

二、边（edge）

边，表示事物与事物之间的关系。

三、同构（Isomorphism ）

顶点和边指的是事物和事物的逻辑关系，不管顶点的位置在哪，边的粗细长短如何，只要不改变顶点代表的事物本身，不改变顶点之间的逻辑关系，那么就代表这些图拥有相同的信息，是同一个图。同构的图区别仅在于画法不同。

四、有向/无向图（Directed Graph/ Undirected Graph）

最基本的图通常被定义为“无向图”，与之对应的则被称为“有向图”。两者唯一的区别在于，有向图中的边是有方向性的。

五、权重（weight）

边的权重（或者称为权值、开销、长度等），也是一个非常核心的概念，即每条边都有与之对应的值。例如当顶点代表某些物理地点时，两个顶点间边的权重可以设置为路网中的开车距离。有时候为了应对特殊情况，边的权重可以是零或者负数。

六、路径/最短路径（path/shortest path）

在图上任取两顶点，分别作为起点（start vertex）和终点（end vertex），我们可以规划许多条由起点到终点的路线。不会来来回回绕圈子、不会重复经过同一个点和同一条边的路线，就是一条“路径”。两点之间存在路径，则称这2个顶点是连通的（connected）。

路径也有权重。路径经过的每一条边，沿路加权重，权重总和就是路径的权重（通常只加边的权重，而不考虑顶点的权重）。在路网中，路径的权重，可以想象成路径的总长度。在有向图中，路径还必须跟随边的方向。

七、环（loop）

环，也成为环路，是一个与路径相似的概念。在路径的终点添加一条指向起点的边，就构成一条环路。

八、连通图/连通分量（connected graph/connected component）

如果在图G中，任意2个顶点之间都存在路径，那么称G为连通图（注意是任意2顶点）。

我们把一个图的最大连通子图称为它的连通分量。连通分量有如下特点：
1）是子图；
2）子图是连通的；
3）子图含有最大顶点数。

显然，对于连通图来说，它的最大连通子图就是其本身，连通分量也是其本身。

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