图论及其应用学习笔记（一）图的基本概念

图的基本概念

图的定义与图论模型
- 图的定义
- 图的相关概念
- 图论模型
图的同构
完全图、偶图与补图
子图的相关概念
图运算
顶点的度
- 顶点的度及其性质
- 图的度序列及其性质
- 图的频序列及其性质

记录一下这门课程的知识点和个人理解，参考资料为这门课老师的讲解、电子科大杨春老师的PPT，以及《图论与网络最优化算法》这本书

图的定义与图论模型

图的定义

一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中：

V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数；
E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可以重复出现多次。用|E|表示边数。

图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个黑点（小圆圈）表示，E中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。

图的相关概念

有限图：顶点集和边集都有限的图称为有限图；
平凡图：只有一个顶点的图称为平凡图；
空图：边集为空的图称为空图；
n阶图：顶点数为n的图称为n阶图；
(n, m) 图：顶点数为n,边数为m的图称为(n, m) 图；
边的重数：连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数；重数大于1的边称为重边；
环：端点重合为一点的边称为环；
简单图：无环无重边的图称为简单图；其余的图称为复合图；
顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为该边的两个端点；
顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点；
边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点；

图论模型

为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学模型。

一般步骤：
1. 定义顶点和边的规则
2. 绘图
3. 用图论的方法解决问题
经典问题：
- 旅行商问题
  一电脑代理商要从她所在城市出发，乘飞机去六个城市，
  然后回到出发点，如果要求每个城市只经历一次，能否办
  到？给出行走方案
- 最小路径问题

图的同构

定义：设有两个图G1=(V1,E1)G1=(V1,E1)G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)G2=(V2,E2)G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设
u1↔u2;v1↔v2;u1,v1∈V1;u2,v2∈V2;u1v1∈E1u_1\leftrightarrow u_2; v_1 \leftrightarrow v_2; u_1,v_1 \in V1; u2,v2 \in V2; u_1v_1\in E1 u1↔u2;v1↔v2;u1,v1∈V1;u2,v2∈V2;u1v1∈E1
当且仅当u2v2∈E2u_2v_2\in E_2u2v2∈E2,且u1v1u1v1u1v1与u2v2u_2v_2u2v2的重数相同。称G1G1G1与G2G2G2同构，记为：
G1≅G2G1 \cong G2 G1≅G2

完全图、偶图与补图

完全图：每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为完全图。有：
m(Kn)=12n(n−1)m(K_n) = \frac{1}{2}n(n-1) m(Kn)=21n(n−1)
偶图：也称二部图。是指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个
端点在X中，另一个端点在Y中。
完全偶图：完全偶图是指具有二分类（X,Y）（X, Y）（X,Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,nK_{m,n}Km,n，下图为K2,3K_{2,3}K2,3:
补图：
对于一个简单图G=(V,E)G =(V, E)G=(V,E)，令集合
E1={uv∣u≠v,u,v∈V}E_1 = \{uv\vert u \neq v,u,v \in V\} E1={uv∣u=v,u,v∈V}
则称图H=(V,E1−E)H = (V,E_1-E)H=(V,E1−E)为G的补图，记为H=GˉH = \bar{G}H=Gˉ
注：某些教材会将E1−EE_1-EE1−E表示为E1\EE_1\backslash EE1\E
自补图：如果图G与其补图同构，则称G为自补图
注：如果两个数a、b满足amodp=bmodpa \; mod \; p = b\; mod \; pamodp=bmodp，则称他们模p相等，记做a≡b(modp)a \equiv b (mod \; p)a≡b(modp)
有：
n=0,1(mod4)也即n对4取余的结果为0或1n = 0,1(mod \; 4) \qquad也即n对4取余的结果为0或1 n=0,1(mod4)也即n对4取余的结果为0或1

子图的相关概念

简单的说，图G的任意一部分（包括本身）都称为是图G的一个子图

定义：如果 V(H)⊆V(G),E(H)⊆E(G)V(H) \subseteq V(G), E(H) \subseteq E(G)V(H)⊆V(G),E(H)⊆E(G) 且 HHH 中边的重数不超过 GGG 中对应边的条数, 则称 HHH 为 G的子图, 记为 H⊆GH \subseteq GH⊆G当 H⊆G,H≠GH \subseteq G, H \neq GH⊆G,H=G 时, 称 H\mathrm{H}H 是 GGG 的真子图, 记为 H⊂GH \subset GH⊂G
顶点导出子图：如果 V′⊆V(G)V^{\prime} \subseteq V(G)V′⊆V(G), 则以 V′V^{\prime}V′ 为顶点集，以两个端点均在 V′V^{\prime}V′ 中的边集组成的图, 称头图G的点导出子图。记为: G[V′]G\left[V^{\prime}\right]G[V′] 。
边导出子图：如果 E′⊆E(G)E^{\prime} \subseteq E(G)E′⊆E(G), 则以 E′E^{\prime}E′ 为边集, 以 E′E^{\prime}E′ 中边的所有端点为顶点集组成的图, 称为图G的边导出子图。记为: G[E′]G\left[E^{\prime}\right]G[E′]
图的生成子图：如果一个子图包含G的所有顶点，称该子图为G的一个生成子图

图运算

在图论中，将两个或更多的图按照某种方式合并，或者对一个图作某种形式的操作，可以得到很有意义的新图。将图合并或对一个图进行操作，称为图运算。图运算形式很多。

删点：设 V′⊆V(G)V^{\prime} \subseteq V(G)V′⊆V(G), 在 G\mathbf{G}G 中删去 V′V^{\prime}V′ 中的顶点和 G\mathbf{G}G 中与之关联的所有边的操作, 称为删点运算。记为 G−V′G-V^{\prime}G−V′ 特别地, 如果只删去一个点 v\mathbf{v}v, 则记为 G-v。
删边：设 E′⊆E(G)E^{\prime} \subseteq E(G)E′⊆E(G), 在 GGG 中删去 E′E^{\prime}E′ 中的所有边的操作, 称为删边运算。记为 G−E′G-E^{\prime}G−E′。特别地, 如果只删去一条边e, 则记为G-e。
注: 删点、删边后得到的图是原图的子图。
图的并运算 ：设G1,G2G_1,G_2G1,G2是GGG的两个子图，G1G_1G1与G2G_2G2并是指由V(G1)∪V(G2)V(G_{1})\cup V(G_2)V(G1)∪V(G2)为顶点集, 以 E(G1)∪E(G2)E\left(G_1\right) \cup E\left(G_2\right)E(G1)∪E(G2) 为边集组成的子图。记为:G1∪G2G_1 \cup G_2G1∪G2。特别是, 如果 G1,G2\mathbf{G}_1, \mathbf{G}_2G1,G2 不相交(没有公共顶点), 称它们的并为直接并, 可以记为: G1+G2\quad G_1+G_2G1+G2
图的交运算：设 G1,G2\mathbf{G}_1, \mathbf{G}_2G1,G2 是 G\mathbf{G}G 的两个子图, G1\mathbf{G}_1G1 与 G2\mathbf{G}_2G2 交是指由 V(G1)∩V(G2)V\left(G_1\right) \cap V\left(G_2\right)V(G1)∩V(G2) 为顶点集, 以 E(G1)∩E(G2)E\left(G_1\right) \cap E\left(G_2\right)E(G1)∩E(G2) 为边集组成的子图。记为: G1∩G2G_1 \cap G_2G1∩G2
图的差运算：设 G1,G2G_1, G_2G1,G2 是两个图, G1G_1G1 与 G2G_2G2 的差是指从 G1G_1G1 中删去 G2G_2G2 中的边得到的新图。记为 G1−G2=G[E(G1)\E(G2)]G_1-G_2=G\left[E\left(G_1\right) \backslash E\left(G_2\right)\right]G1−G2=G[E(G1)\E(G2)] 注意是边导出子图
图的对称差运算（或称环和运算）：设 G1,G2G_1, G_2G1,G2 是两个图, G1G_1G1 与 G2G_2G2 的对称差定义为:
G1ΔG2=(G1∪G2)−(G1∩G2)G_1 \Delta G_2=\left(G_1 \cup G_2\right)-\left(G_1 \cap G_2\right) G1ΔG2=(G1∪G2)−(G1∩G2)

顶点的度

顶点的度及其性质

定义：GGG 的顶点 vvv 的度 d(v)d(v)d(v) 是指 GGG 中与 vvv 关联的边的数目, 每个环计算两次。分别用 δ(G)\delta(\mathrm{G})δ(G) 和 Δ(G)\Delta(\mathrm{G})Δ(G) 表示图G的最小与最大度。
奇点与偶点：奇数度的顶点称为奇点，偶数度的顶点称为偶点。
k-正则图：设G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)为简单图，如果对所有v∈Vv \in Vv∈V,有d(v)=kd(v)=kd(v)=k，称图G为k-正则图。
定理（图论第一定理，又称握手定理）：定理: 图 G=(V,E)G=(V, E)G=(V,E) 中所有顶点的度的和等于边数 mmm 的 2 倍, 即:
∑v∈V(G)d(v)=2m\sum_{v \in V(G)} d(v)=2 m v∈V(G)∑d(v)=2m
推论1：在任何图中，奇点个数为偶数。
推论2：正则图的阶数和度数不同时为奇数。
证明 : 设 GGG 是 kkk-正则图, 若 kkk 为奇数, 则由推论 1 知正则图 GGG 的度数必为偶数

图的度序列及其性质

一个图 GGG的各个点的度 d1,d2,…,dnd_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}d1,d2,…,dn构成的非负整数组 (d1,d2,…,dn)\left(d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}\right)(d1,d2,…,dn) 称为 GGG的度序列。任意一个图 GGG 对应唯一一个度序列, 图的度序列是刻画图的特征的重要“拓扑不变量”。

拓扑不变量：图 G 的“拓扑不变量” 是指与图G有关的一个数或数组（向量）。它对于与图G同构的所有图来说不会发生改变。一个图G可以对应很多拓扑不变量。如果某组不变量可完全决定一个图, 称它为不变量的完全集。
定理: 非负整数组 (d1,d2,…,dn)(\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{d}_{\mathrm{n}})(d1, d2,…,dn)是图的度序列的充分必要条件是: ∑i=1ndi\sum_{i = 1}^{n} d_{i}∑i=1ndi 为偶数。

证明：必要性由握手定理立即得到。如果 ∑i=1ndi\sum_{i = 1}^{n} d_{i}∑i=1ndi 为偶数, 则数组中为奇数的数字个数必为偶数。按照如下方式作图 G :
若 d1\mathrm{d}_{1}d1 为偶数, 则在与之对应的点作 di/2\mathrm{d}_{\mathrm{i}} / 2di/2 个环; 对于剩下的偶数个奇数,两两配对后分别在每配对点间先连一条边，然后在每个顶点画(dj−1)/2(d_j-1)/2(dj−1)/2个环。该图的度序列就是已知数组。

关于图序列，主要研究3个问题：

存在问题：什么样的整数组是图序列？
计数问题：一个图序列对应多少不同构的图？
构造问题：如何画出图序列对应的所有不同构图？
研究现状: (1)彻底解决了，(2)解决得不好，(3)没有解决。

定理: 非负整数组π=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯≥dn,∑i=1ndi=2m\pi = \left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}\right), d_{1} \geq d_{2} \geq \cdots \geq d_{n}, \sum_{i = 1}^{n} d_{i} = 2 mπ=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯≥dn,∑i=1ndi=2m是图序列的充分必要条件是:π1=(d2−1,d3−1,⋯,dd1+1−1,dd1+2,⋯,dn)\pi_{1} = \left(d_{2}-1, d_{3}-1, \cdots, d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, \cdots, d_{n}\right)π1=(d2−1,d3−1,⋯,dd1+1−1,dd1+2,⋯,dn)是图序列。
例 π=(6,5,4,3,2,2,2)\pi=(6,5,4,3,2,2,2)π=(6,5,4,3,2,2,2)是否为图序列？如果是，作出对应的一个简单图。
解：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \pi_1&=(4,3,2,…
由于是图序列，所以原序列是图序列。
定理: (厄多斯1960)非负整数组
π=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯≥dn,∑i=1ndi=2m\pi = \left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}\right), d_{1} \geq d_{2} \geq \cdots \geq d_{n}, \sum_{i = 1}^{n} d_{i} = 2 mπ=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯≥dn,i=1∑ndi=2m
是图序列的充分必要条件是:
∑i=1rdi≤r(r−1)+∑i=r+1nmin⁡{r,di},1≤r≤n−1\sum_{i = 1}^{r} d_{i} \leq r(r-1)+\sum_{i = r+1}^{n} \min \left\{r, d_{i}\right\}, 1 \leq r \leq n-1i=1∑rdi≤r(r−1)+i=r+1∑nmin{r,di},1≤r≤n−1

该定理证明很难!
上世纪60年代以来, 人们又研究所谓的唯一图序列问题

定理: 一个满足 d2=dn−1\mathbf{d}_{2}=\mathbf{d}_{\mathbf{n}-1}d2=dn−1 的图序列 π=(d1,d2,⋯,dn)\pi=\left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}\right)π=(d1,d2,⋯,dn) 是唯一图序列的充分必要条件是下列条件之一满足:
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &(1) d_{1}=d_{…

图的频序列及其性质

定理：一个简单图GGG的nnn个点的度不能互不相同

证明：因为图G为简单图，所以：
△(G)≤n−1\triangle(G) \leq n-1△(G)≤n−1
情形1：若 G\mathrm{G}G 没有孤立点，则 1≤d(v)≤n−1,∀v∈V(G)1 \leq d(v) \leq n-1, \forall v \in V(G)1≤d(v)≤n−1,∀v∈V(G)
由鸽笼原理：必有两顶点度数相同;
情形 2: 若 G\mathrm{G}G 只有一个孤立点, 设 G1\mathrm{G 1}G1 表示 G\mathrm{G}G 去掉孤
立点后的部分, 则: 1≤d(v)≤n−2,∀v∈V(G1)1 \leq d(v) \leq n-2, \forall v \in V\left(G_{1}\right)1≤d(v)≤n−2,∀v∈V(G1)
由鸽笼原理：在 G1\mathrm{G}_{1}G1 里必有两顶点度数相同;
情形 3: 若 G\mathrm{G}G 只有两个以上的孤立点, 则定理显然成立。

定义: 设nnn阶图GGG的各点的度取sss个不同的非负整数 d1,d2,…,dsd_{1}, d_{2}, \ldots, d_{s}d1,d2,…,ds 又设度为 did_{i}di 的点有 bib_{i}bi 个 (i=1,2,…,s)(i=1,2, \ldots, s)(i=1,2,…,s) , 则 ∑i=1sbi=n\sum_{i=1}^{s} b_{i}=ni=1∑sbi=n故非整数组 (b1,b2,…,bs)\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}\right)(b1,b2,…,bs) 是 nnn 的一个划分，称为 GGG 的频序列。
定理：一个nnn 阶图 GGG 和它的补图有相同的频序列。

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