【数据结构】二叉树的原理及实现

1.什么是数？

树这种数据结构在计算机中是非常重要的，是一种非线性数据结构。一些数据库的底层与快速索引都离不开树这种数据结构。
树是有很多节点组成的具有一定层次关系的集合。最上面的可以看成是树的头，下面的很多节点就在这个头的基础上不断的向下延伸，类似一颗倒挂的树。
树是由n>=0个结点的有限集，当n=0的时候，这个树被叫做空树。当n>1的时候，表明它是一颗非空的树，在一颗非空的树里面。

树的特点
- 在每一个节点会有0个或者0个以上的子节点
- 没有父节点的节点被称为根节点
- 非根节点只有一个父节点
- 每个节点的子节点整体上来看像一颗倒挂的树，也被称为父节点子树。
树的专业术语
- 节点：是指数据元素和指向子树的分支
- 根节点：在非空树中没有前驱结点的结点，被称为根节点（注意，只有一个根节点）
- 节点的度：结点所拥有子树个数
- 树的度：树里的各个节点度的最大值
- 父节点：A是B的父节点
- 子节点：B是A的子节点
- 叶子节点：当度等于0的时候被称为叶子节点。
- 路径：从根节点找该节点的路径，比如要找K节点。路径为：A->C->G->K
- 层：同一个层面为一层。如A为1层，BC为2层

2.二叉树基本概念

什么是二叉树
- 树有很多种，但是每一个结点最多只有两个子节点的树，被称作为二叉树。
- 二叉树的子节点又分成左节点与右节点
- 二叉树又分为满二叉树与完全二叉树
满二叉树
- 概念为：如果这颗二叉树的所有叶子节点都在该树的最后一层的话，并且节点的总数=2^n-1（n为层数）。
- 节点总数=2^4-1=15

完全二叉树
- 概念：当前二叉树所有的叶子节点再倒数第一层或者是倒数第二层当中，而且的话最后一层的叶子节点是在左边连续的，而在倒数第二层的叶子节点是右边连续的。
- 如果把G节点删除的话，它就不属于完全二叉树了，因为它的叶子结点已经是不连续了。

二叉排序树
- 概念：也叫作二叉查找树。二叉排序树的任何一个非叶子节点，都要求他的左子节点的值要比当前的节点值小，右子节点值要比当前的节点值大。
- 排序树的左子树不为空，那么左子树的所有节点都小于他根节点的值
- 他的右子树不为空，那么右子树的所有节点的值都大于它根节点的值

3.二叉树的前中后续遍历

二叉树的遍历
- 在学数组的时候，需要查找某一个值的时候，是不是需要遍历数据来查找的。
那在树结构查找某一个值的时候，它与线性结构不一样，没有办法从头开始遍历，那它是如何进行遍历的呢？

我们可以把上图的树分成根节点、左子树和右子树。再根据根节点什么时候被访问，我们就把二叉树遍历分成三种方式

前序遍历：首先访问根节点，然后先是访问左子树，最后才到右子树。
- 6 4 2 1 3 5 9 8 11
中序遍历：首先访问左子树，然后到根节点，最后才到右子树。
- 1 2 3 4 5 6 8 9 11
后序遍历：首先访问左子树，然后到右子树，最后到根节点。
- 1 3 2 6 4 8 11 9 6

4.排序二叉树实战

public class BinaryTree {//创建根节点public Node root;/*** 查看二叉树* @return*/public Node getRoot(){return root;}/*** 求二叉树的最大深度* @param root* @return*/public int maxDep(Node root){//根节点是否为空if(root == null) return 0;return Math.max(maxDep(root.left),maxDep(root.right))+1;}/*** 查找二叉树节点* @param id* @return*/public String get(Node root,int id){//判断根节点是否为nullif(root == null){return "";}//判断传入的ID是否是小于根节点if(id < root.id){return get(root.left,id);}//判断传入的ID是否大于根节点if(id > root.id){return get(root.right,id);}return root.name;}/*** 二叉树添加节点* @param node*/public void add(Node node){//先判断根是否为nullif(root == null){root = node;}else{root.add(node);}}/*** 前序遍历*/public void preTraversal(){getRoot().preTraversal();}/*** 中序遍历*/public void infixTraversal(){getRoot().infixTraversal();}/*** 后续遍历*/public void postTraversal(){getRoot().postTraversal();}static class Node{//定义IDprivate int id;//定义nameprivate String name;//定义左节点private Node left;//定义右节点private Node right;//初始化节点的值public Node(int id,String name){this.id = id;this.name = name;}/*** 添加节点* @param node*/public void add(Node node){//首先先判断node是否为nullif(node == null){return;}//判断是否比根小,向左插入if(node.id<this.id){if(this.left == null){this.left = node;}else{this.left.add(node);}}//判断是否比根大，向右插入if(node.id>this.id){if(this.right == null){this.right = node;}else{this.right.add(node);}}}/*** 前序遍历*/public void preTraversal(){//输出根节点System.out.println("id:"+this.id+",name:"+this.name);//输出左节点if(this.left!=null){this.left.preTraversal();}//输出右节点if(this.right!=null){this.right.preTraversal();}}/*** 中序遍历*/public void infixTraversal(){//输出左节点if(this.left!=null){this.left.infixTraversal();}//输出根节点System.out.println("id:"+this.id+",name:"+this.name);//输出右节点if(this.right!=null){this.right.infixTraversal();}}/*** 后续遍历*/public void postTraversal(){//输出左节点if(this.left!=null){this.left.postTraversal();}//输出右节点if(this.right!=null){this.right.postTraversal();}//输出根节点System.out.println("id:"+this.id+",name:"+this.name);}}public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();int [] arr = {4,2,9,7,1,5};// 向树中添加元素for (int i = 0; i < arr.length; i++) {binaryTree.add(new Node(arr[i], "李祥"+i));}// 前序遍历System.out.println("前序遍历：");binaryTree.preTraversal();// 中序遍历System.out.println("中序遍历：");binaryTree.infixTraversal();// 后序遍历System.out.println("后序遍历：");binaryTree.postTraversal();//快速查找二叉树中的元素System.out.println("查找节点为 2 的元素:"+binaryTree.get(binaryTree.getRoot(), 2));//查询二叉树的最大深度System.out.println("二叉树的最大深度:"+binaryTree.maxDep(binaryTree.getRoot()));}}

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