算法之牛顿法求平方根+立方根

author：onceday date：2022年6月8日

1.基于Scheme语言

牛顿法基于以下几步来求出平方根：

先给出一个猜测值y
判断猜测值y是否与目标值非常接近，已经足够好，可以直接使用。
如果不是足够好，则需要进一步改进猜测值。
递归执行，直到得出足够好的值。

将上面的步骤写成代码如下：

;;;定义求平方根的迭代过程
(define (sqrt_iter guess x)(if (good_enough? guess x)guess(sqrt_iter (improve guess x) x))
)

如何判断猜测值是否足够好呢？可以根据猜测值的平方与被开方数之差小于某个固定值，如0.0001；

;;;定义猜测值是否很好的检测方式
(define (good_enough? guess x) (< (abs (- (square guess) x)) 0.001));;;定义绝对值计算
(define (abs x) (if (< x 0)(- x)x));;;定义平方值计算
(define (square x) (* x x))

但是，这对于较大的数来说，不错，因为0.0001相对10,10000等来说是很小的。

但对于0.001来说，其精度就太低了。

因此可以使用百分比来衡量是否足够好，即监视猜测值在从一次迭代到下一次迭代的变化情况，当改变值相对于猜测值的比率很小时就结束。

;;;定义第二种猜测值是否很好的检测方式，利用百分比
(define (good_enough? guess x) (< (/ (abs (- (improve guess x) guess)) guess) 0.0001))

在这个基础上还可以实现求立方根的算法：

使用百分比确定是否足够好
近似值由公式 x / y 2 + 2 y 3 \frac{x/y^2+2y}{3} 3x/y2+2y计算而来，y是猜测值，x是被开立方数

;;;定义求立方根的迭代过程
(define (cube_iter guess x)(if (good_enough? guess x)guess(cube_iter (improve guess x)x)));;;定义改进猜测的方式
(define (improve guess x) (/ (+ (/ x (square guess)) (* 2 guess)) 3));;;定义平均值计算
(define (average x y) (/ (+ x y) 2));;;定义第二种猜测值是否很好的检测方式，利用百分比
(define (good_enough? guess x) (< (/ (abs (- (improve guess x) guess)) guess) 0.0001));;;定义绝对值计算
(define (abs x) (if (< x 0)(- x)x));;;定义平方值计算
(define (square x) (* x x));;;定义平方根计算，默认初始猜测值1.0
(define (cube_root x) (cube_iter 1.0 x))

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