数术记遗——盘点我国古代那些失传了的计算神器
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引言
《数术记遗》是我国最早记载珠算的古籍，为汉代数学家徐岳撰写，由北周（南北朝时期）数学家甄鸾注解[1]。书中记录了14种计算方法，分别为积算、太一、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，除了最末的计数属于心算，其余13种均有相应的计算工具。
但由于书中没有插画，极简的文言文又无法将这些工具的模样详细说清，便给后人留下了「哥德巴赫猜想」式的谜题。现今的一些学者根据严肃的科学考证，提出了多种可能的推想图，将古代这些有趣的算具再次呈现在世人面前。其中最为主流的，要数李培业[2]推想图，请容我在其基础上加入一点自己的合理优化，让它们以更亲切的形式与大家见面。
让我们一起领略，在那没有计算机的年代，来自古人的非凡智慧。
积算
积算，今之常算者也。以竹为之，长四寸，以放四时，方三分，以象三才。言算法是包括天地，以烛人情。数始四时，终于大衍，又加循环，故曰「今之常算是也」。
积算又称筹算（确切地说是指筹算中最经典、最主流的一种），是我国古代在算盘出现以前最为常用的计算方法。所用工具叫算筹，算筹是一根根小小的棍子，说的是「以竹为之，长四寸」，其实从兽骨到金属，制作算筹的材质多种多样，不同时期算筹的长度也不尽相同。
筹算用棍子的纵横组合摆放来表示数字，分有纵横两式，纵式摆法中以竖棍表示1、横棍表示5，横式摆法中以横棍表示1、竖棍表示5。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
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| 纵式 |
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| 横式 |
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不同数位上纵横式交替使用，「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。」（语出《孙子算经》）
| 2 | 0 | 1 | 8 |
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| 横式 | 纵式 | 横式 | 纵式 |
☞ 详细介绍可见《运筹帷幄》一文。
太一
太一算，太一之行，去来九道。
刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数以下始。故曰「去来九道」也。
太一算的工具是一种古老的算盘。算盘上刻9道横线，从下至上分别表示1~9，纵线代表数位，算珠置于9线以上或1线以下表示0。
两仪
两仪算，天气下通，地禀四时。
刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九；其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四，而已。故曰「天气下通，地禀四时」也。
两仪算的工具也是古老算盘的一种。算盘和太一一样画成棋盘状，使用青黄两种颜色的算珠。黄珠自下而上，所置横线分别表示1~4；青珠自上而下，所置横线分别表示5~9；两珠停于上下开外表示0。
三才
三才算，天地和同，随物变通。
刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠能行三道：若天珠在天为九，在地主六，在人主三；其地珠在天为八，在地主五，在人主二；人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰「天地和同，随物变通」。亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、九、六，「随物变通」也。
三才算的工具也是古老算盘的一种。算盘同样是棋盘状，从上至下的三道横线分别名为天线、地线、人线。算珠有三种颜色，青珠称为天珠，黄珠称为地珠，白珠称为人珠。青珠置于天线为9、置于地线为6、置于人线为3，黄珠置于天线为8、置于地线为5、置于人线为2，白珠置于天线为7、置于地线为4、置于人线为1，三珠置于上下开外为0。
《周易》将天、地、人称为三才，三才之珠在天地人间游走，可谓「天地和同，随物变通」也。
五行
五行算，以生兼生，生变无穷。
五行之法，水玄生数一，火赤生数二，木青生数三，金白生数四，土黄生数五。今为五行算，色别九枚，以五行色数相配，为算之位。
五行算是筹算的一种，这里的算筹染有五行所对应的黑、红、青、白、黄五种颜色。黑筹表示1、红筹表示2、青筹表示3、白筹表示4、黄筹表示5，5以上就用两种颜色组合表示，黄黑筹表示6、黄红筹表示7、黄青筹表示8、黄白筹表示9。
写到这里，我满脑子都是《千字文》那句霸气的「天地玄黄，宇宙洪荒。」
八卦
八卦算，针刺八方，位阙从天。
为算之法，位用一针，锋所指以定算位。数一从离起，指正南离为一、西南坤为二、正西兑为三、西北乾为四、正北坎为五、东北艮为六、正东震为七、东南巽为八，至第九位阙，即在中央竖而指天，故曰「位阙从天」也。
八卦算比较特别，在八卦图上用针的指向表示数字，有点像现在的圆盘时钟。从针尖朝南表示1开始，沿顺时针顺序依次表示1~8，针尖朝上竖在中间表示9。
九宫
九宫算，五行参数，犹如循环。
九宫者，即二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央；五行参数者，设位之法依五行，巳注于上是也。
我国古代的天文学家把星空分为九宫格，在这九个格子里填上数字，便成了中国最早出现的幻方。
定睛一看，这布阵不正是洛书么！
九宫在《数术记遗》所列的算法中最为特殊。其他算法都是将数字置于不同的数位以表示不同的数值，即固定数位，让数字在数位上变动，这比较符合常理；而九宫则将幻方九数定死，将代表不同数位的珠子摆到数字上，即固定数字，让数位在数字上变动。这位发明者真是脑洞清奇。
这么看，九宫的算具也是算盘的一种。
数位用不同颜色的珠子表示，还是五行之色。
| 个 | 十 | 百 | 千 | 万 | 十万 | 百万 | 千万 | 亿 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 玄珠 | 赤珠 | 青珠 | 白珠 | 黄珠 | 赤线系黄珠 | 青线系黄珠 | 白线系黄珠 | 黄线系黄珠 |
可谓眼花缭乱。
这读数得有多吃力，何苦如此折腾，着实令人费解……
运筹
运筹算，小往大来，运于指掌。
此法位别须算筹一枚，各长五寸，至一筹上各为五刻，上头一刻近头，一刻之其下四刻迭相去一寸，令去下一头亦一寸也。
运筹，顾名思义，想必也是筹算的一种。筹上刻了5条横线，两两相隔一寸，最上面一条靠近上端，最下面一条距离下端一寸。5条刻线从下至上分别表示1~5，把筹倒过来拿，刻线从下至上数分别表示6~9。
众所周知，3寸为10cm，这一寸的间隔，正好能容一指的宽度。把一根根这样的算筹夹在指间，用指关节表示数位。
如果运筹帷幄的张良用的是这种算筹，可想而知帷帐之中是怎样一幅疯狂「转笔」的景象……
了知
了知算，首唯秉五，腹背两兼。
了算之法，一位为一了字，其了有三曲。其下股之末，内主一，外主九；下次第一曲，内主二，外主八；其第二曲，内主三，外主七；其第三曲，内主四，外主六；当了字之首独立五。故曰「首唯秉五，腹背两兼」也。
用一个「了」字代表一个数位，算子放在「了」的不同位置表示不同数字。
这种算法显然是石子计数发展的产物，这种算具也可以视为一种算盘吧。
成数
成数算，春夏生养，秋冬收成。
算之法，为别须五色算一枚。其一算之象头各以黄色为本，以生数也；余色为首，其五行各配土为成数也。水玄生数一，成数六；火赤生数二，成数七；木青生数三，成数八；金白生数四，成数九。若以首向东及南，为生数；向西及北，为成数。
成数算是一种筹算，与五行算的工具基本相通，也是使用五行之色相互搭配表示数字，在此基础上还引入了朝向的含义：朝东或朝南放的称为生数，表示1~4；朝西或朝北放的称为成数，表示6~9；单色黄筹怎么放都表示5。
古时看方位的习惯与现在恰好是相反的，为上南下北左东右西，理解起来难免会有些别扭。简单地说，1~4朝上或朝左放，6~9朝下或朝右放。
如此，从1到9，每个数字便都有了一纵一横的两种摆法，与积算中的纵横两式不谋而合，摆数时纵横交错使用。
东南为春夏，曰生数；西北为秋冬，曰成数。是可谓「春夏生养，秋冬收成」，算法与四季规律完美吻合。
把头
把头算，以身当五，目视四方。
把头之法，位别须算二枚，一漫[3]一齿者。一面刻为一，其一面为二，一面为三，其一面为四也。漫者为把、为猶[4]，即当五算；至齿者为把头，一目当一算。故曰「以身当五，目视四方」也。
把，耙也，可以理解为猪八戒扛的那种农具。
把头算也是筹算，用一横一竖两根算筹表示数字，组合起来其形如耙。把头刻线，故称齿筹，刻一至四条线表示1~4；把身光溜溜，称漫筹，表示5。两者组合即可表示6~9。
可见，把头算要准备四种齿筹。但细细琢磨原文描述，也许只要两种齿筹，正反面刻线。
龟算
龟算，春夏秋成，遇冬则停。
为算之法，为别一龟，龟之四面为十二时。以龟首指寅为一，指卯为二，指辰为三，指巳为四，指午为五，指未为六，指申为七，指酉为八，指戌为九，指亥、子、丑龟头指不以为数。故云「遇冬则停」也。
我国古代以天干地支计时历法，一年四季与十二地支的对应关系正是寅卯辰春、巳午未夏、申酉戌秋、亥子丑冬。
| 寅 | 卯 | 辰 | 巳 | 午 | 未 | 申 | 酉 | 戌 | 亥 | 子 | 丑 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正月 | 二月 | 三月 | 四月 | 五月 | 六月 | 七月 | 八月 | 九月 | 十月 | 十一月 | 腊月 |
十二地支围成一圈，中间放个乌龟（当然应该不会是真的乌龟），龟头所指便表示相应的数字，像极了现在的钟表。春夏秋三季的地支表示1~9，冬季的地支不做用处，故曰：「春夏秋成，遇冬则停。」
珠算
珠算，控带四时，经纬三才。
刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一[5]。至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云「经纬三才」也。
《数术记遗》是最早提到「珠算」一词的古籍，此处的珠算在本质上已与现今的十分接近，只是在形式上略有不同。
算珠有两种颜色，此处用黑白表示。每个数位上有黑珠1颗、白珠4颗。黑珠表示5，白珠表示1。算盘分为上中下三块区域，算珠组合置于中间区域以表示1~9，五珠置于上下区域表示0。
结语
统览十三种算法，可谓眼花缭乱，然从其所依托的工具来看，除了八卦与龟算，其余的无外乎筹算与珠算两大门类，而八卦和龟算又迷之相似，若要给它们起个门类的话，统称「指针算」也无妨吧。
- 筹算：积算、五行、运筹、成数、把头。
- 珠算：太一、两仪、三才、九宫、了知、珠算。
- 指针算：八卦、龟算。
其实这些所谓的算法，在《数术记遗》中也仅体现了数字和数位的表示方法，至于如何运算，仍是依赖于相应的心算口诀的。但仅是单纯地将算具的外形、颜色、摆法与数字关联起来，古人就赋以了五行八卦、天干地支、四季星辰等等经典的自然哲学，看似复杂，其实一通百通，都是「一生二，二生三，三生万物」的简单规律，深刻体现了我国古代哲学与数学的高度契合。
我不禁想到华夏文明之滥觞——河出图，洛出书。我国辉煌灿烂的历史，正源自这两幅大道至简的数字布阵图。人类的终极智慧，往往也是智慧的源头。
参考文献
- 徐岳. 数术记遗[M]. 文物出版社, 1980.
- 百度百科. 数术记遗[EB/OL].
- 李培业. 世界珠算通典[M]. 陕西人民出版社, 1996.
- 陈开先. <数术记遗>之古算十四法的程序意义解读[J]. 自然辩证法研究, 2003, 19(4):49-54.
- 兑印师傅. 详解十二地支与四季之间的关系[EB/OL].
学术界也有观点认为《数术记遗》是甄鸾托徐岳之名自撰自注的，尚存争议。 ↩
百度百科：李培业（1934~2011），中国50年代以来进行数学史研究的代表人物之一，对《数术记遗》做了深入研究，提出其中记载的十三种计算工具的复原图（被珠算界命名为「李培业推想图」），并制造出复原模型，在内蒙古师范大学算具展览馆及南通珠算博物馆展出。 ↩
《世界珠算通典》解释为「漫，同曼，长也。」但我更倾向于理解为「光滑」， 与齿筹刻线相对。 ↩
猶字何解，实在不知。 ↩
我参考了5个版本的《数术记遗》，此句中均没有「五」字，即「其上别色之珠当其下四珠，珠各当一。」在包括《世界珠算通典》在内的诸多文献中，则理所当然地抄录为「其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一。」一字之差，句意便有了「上珠等价于四」和「上珠表示五」的区别，前者更贴近原文，而后者更符合算盘的构造。究竟是古籍的笔误，还是今人的误解，暂无可考，此处权且按有「五」解释。 ↩
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