【证明】矩阵特征值的k次幂是矩阵k次幂的特征值

性质 1　若 λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的特征值，则 λ k \lambda^k λk 是 A k \boldsymbol{A}^k Ak 的特征值。

证明　用数学归纳法。

当 m = 1 m=1 m=1 时，因为 λ \lambda λ 是 A \boldsymbol{A} A 的特征值，故有 p ≠ 0 \boldsymbol{p} \ne 0 p=0 使 A p = λ p \boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p} Ap=λp。从而有
A 2 p = A ( A p ) = A ( λ p ) = λ ( A p ) = λ 2 p \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{p} = \boldsymbol{A} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}) = \boldsymbol{A} (\lambda \boldsymbol{p}) = \lambda (\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}) = \lambda^2 \boldsymbol{p} A2p=A(Ap)=A(λp)=λ(Ap)=λ2p
所以 λ 2 \lambda^2 λ2 是 A 2 \boldsymbol{A}^2 A2 的特征值。

假设当 m = k − 1 m = k - 1 m=k−1 时结论成立，要证当 m = k m = k m=k 时结论也成立。即假设 λ k \lambda^k λk 是 A k \boldsymbol{A}^k Ak 的特征值，要证 λ k + 1 \lambda^{k+1} λk+1 是 A k + 1 \boldsymbol{A}^{k+1} Ak+1 的特征值。

因为 λ k \lambda^k λk 是 A k \boldsymbol{A}^k Ak 的特征值，故有 p ≠ 0 \boldsymbol{p} \ne 0 p=0 使 A k p = λ k p \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{p} = \lambda^k \boldsymbol{p} Akp=λkp。从而有
A k + 1 p = A ( A k p ) = A ( λ k p ) = λ k ( A p ) = λ k + 1 p \boldsymbol{A}^{k+1} \boldsymbol{p} = \boldsymbol{A} (\boldsymbol{A}^k \boldsymbol{p}) = \boldsymbol{A} (\lambda^k \boldsymbol{p}) = \lambda^k (\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}) = \lambda^{k+1} \boldsymbol{p} Ak+1p=A(Akp)=A(λkp)=λk(Ap)=λk+1p
所以 λ k + 1 \lambda^{k+1} λk+1 是 A k + 1 \boldsymbol{A}^{k+1} Ak+1 的特征值。

得证。

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