[SCOI2009]迷路

题目描述

windy在有向图中迷路了。该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

输入格式：

第一行包含两个整数，N T。接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。第i行第j列为’0’表示从节点i到节点j没有边。为’1’到’9’表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

输出格式：

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

输入样例：

2 2
11
00

输出样例

#1：

输入样例：

5 30
12045
07105
47805
12024
12345

输出样例：

852

分析

（刚开始还以为老师误把图论题放到矩阵加速这一板块来了呢）
读入虽然为字符串，但我们将它转换一下，不就是一个矩阵了吗？
就以样例一为例，可得
( 1 1 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} (1010)
显然这是邻接矩阵，如果此矩阵中的 ( i , j ) \begin{pmatrix} i,j\end{pmatrix} (i,j) = 1 的话就表示 i 到 j 是连通的
然而，对于这种01矩阵我们发现有一个特殊的性质：我们用这个01矩阵乘自己的话，不正表示从 i 到 j 花费 T 时间的方案数吗？
首先从 ( i , j ) \begin{pmatrix} i,j\end{pmatrix} (i,j)是有 x x x 条路可走的，而从 ( j , k ) \begin{pmatrix} j,k\end{pmatrix} (j,k)有 y y y 条路可走，那么根据乘法原理，从 ( i , k ) \begin{pmatrix} i,k\end{pmatrix} (i,k)就有 x × y x \times y x×y个方案数到 k。
所以我们只需要一个qkpow即可求出答案
但是很尴尬的是，这仅限于 01矩阵，对于这个边权可为9的矩阵，真是一点办法儿也没有呢 ……
所以这时候我们需要运用“拆点”这一新奇的想法

拆点

拆点，对于此题而言，其实就是将一个点分最大权值个点，这是什么意思呢？我们就假设有一个边权 <= 2的2阶方阵，如图（以下图片来源：GM的神奇PPT）

画出行程图：

于是我们可以就可以将1、2号节点拆成两个（毕竟此矩阵中最大权值为2）
( 1.1 2.1 1.2 2.2 ) \begin{pmatrix} 1.1 & 2.1\\ 1.2 & 2.2\\ \end{pmatrix} (1.11.22.12.2)
但是我们还是以 1.1 和 2.1 表示原来的那个点，1.2 和 2.2 我们可以把它看做两个虚点
然后我们就开始连边
第一步我们需要把 1.1 和 1.2，2.1 和 2.2连起来（相当于一个点，自己都走不到自己要它也就没什么用了）

接着，就得开始把 1 和 2两个节点连起来，此时我们要凑 2，只需要把1.2 和 2.1连起来，1.1 到 1.2就为 2了呀

注意，有自环的也要连

小结代码

不知你有没有看不懂的绝望，反正我刚开始，是一脸懵呢
首先，我们从这个 gm 函数开始看
( 1.1 2.1 3.1 ⋯ n . 1 1.2 2.2 3.2 ⋯ n . 2 1.3 2.3 3.3 ⋯ n . 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1. M a x n 2. M a x n 3. M a x n ⋯ n . M a x n ) \begin{pmatrix} 1.1 & 2.1 & 3.1 & \cdots & n.1 \\ 1.2 & 2.2 & 3.2 & \cdots & n.2 \\ 1.3 & 2.3 & 3.3 & \cdots & n.3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1.Maxn & 2.Maxn & 3.Maxn & \cdots & n.Maxn \\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛1.11.21.3⋮1.Maxn2.12.22.3⋮2.Maxn3.13.23.3⋮3.Maxn⋯⋯⋯⋮⋯n.1n.2n.3⋮n.Maxn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
其实， ( i − 1 ) ∗ M a x n + j (i - 1) * Maxn + j (i−1)∗Maxn+j中 i i i j j j合起来就可以看做一个节点，怎么理解呢？
结合第一个 for 循环：就是将自己连起来（也就是1.1 连 1.2这种）
b[ g m gm gm(i,j)][ g m gm gm(i,j + 1)]结合一下上面的图一下就理解了。
接下来就是 g m gm gm函数了， i . j i.j i.j这个节点的前一列的最后一个是第（i - 1）* Maxn点，那么再加上一个 j，不就又相当于又会新开一列，且刚好会在第 j 个位置。
举个栗子：
要找到 2.3 2.3 2.3，我们假设有一个人在0号节点位置，它肯定得走 Maxn 个点才能到达1.Maxn，然后需要再走一个点才能达到2.1，最后他就仅仅只需要走两个点便能到达2.3了，不是吗？
（(2 - 1) × \times × Maxn + 1 + （3 - 1） = （2 - 1） × \times × Maxn + 3）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define M 10
#define reg register
#define mod 2009int n,T,Maxn;
int A[M + 5][M + 5];struct Matrix{int c[M * M + 5][M * M + 5];int n,m;Matrix() { memset(c,0,sizeof(c)); }Matrix operator * (const Matrix & rhs){Matrix Ans;Ans.n = n,Ans.m = rhs.m;for (reg int i = 1;i <= Ans.n; ++ i)for (reg int j = 1;j <= Ans.m; ++ j)for (reg int k = 1;k <= m; ++ k)Ans.c[i][j] = (Ans.c[i][j] + c[i][k] * rhs.c[k][j] % mod) % mod;return Ans;}
}B,G;Matrix Qkpow(Matrix B,int y){Matrix C;C.n = C.m = n;for (reg int i = 1;i <= n; ++ i)C.c[i][i] = 1;while (y){if (y & 1)C = C * B;B = B * B;y >>= 1;}return C;
}int js(int x,int y){return (x - 1) * Maxn + y;
}int main(){//freopen("1.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&T);for (reg int i = 1;i <= n; ++ i){for (reg int j = 1;j <= n; ++ j){scanf("%1d",&A[i][j]);if (Maxn < A[i][j])Maxn = A[i][j];}}for (reg int i = 1;i <= n; ++ i){for (reg int j = 1;j < Maxn; ++ j)B.c[js(i,j)][js(i,j + 1)] = 1;for (reg int j = 1;j <= n; ++ j)if (A[i][j])B.c[js(i,A[i][j])][js(j,1)] = 1;}n *= Maxn;B.n = B.m = n;G = Qkpow(B,T);printf("%d\n",G.c[1][n - Maxn + 1]);return 0;
}

[C++][SCOI2009]迷路相关推荐

P4159 [SCOI2009] 迷路
P4159 [SCOI2009] 迷路题意: 该有向图有 n 个节点,节点从 1 至 nn 编号,windy 从节点 1 出发,他必须恰好在 t 时刻到达节点 n. 现在给出该有向图(带边权),你能 ...
bzoj 1297: [SCOI2009]迷路（矩阵快速幂）
1297: [SCOI2009]迷路 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB Submit: 1322 Solved: 938 [Submit][Statu ...
[SCOI2009]迷路题解
[SCOI2009]迷路 [SCOI2009]迷路文章目录思考过程题解思考过程这个东西发现距离只有 999,记得 Lcm(1-9)=2520\tt Lcm(1 \dots 9) = 2520 ...
bzoj1297 [SCOI2009]迷路（矩阵优化）
Description windy在有向图中迷路了. 该有向图有 N 个节点,windy从节点 0 出发,他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1. 现在给出该有向图,你能告诉windy总共有多少种不同 ...
bzoj1297 [SCOI2009]迷路——拆点+矩阵快速幂
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1297 一看感觉是矩阵快速幂之类的,但边权不好处理啊: 普通的矩阵快速幂只能处理边权为1的,所 ...
[BZOJ1297/Luogu4159][SCOI2009]迷路
题目链接: BZOJ1297 Luogu4159 首先考虑距离只有\(0,1\)的情况那么如果设\(f[t][i][j]\)表示\(i\)到\(j\)走\(t\)时刻的方案数,有转移方程: \(f[ ...
noip2017考前整理(未完)
快考试了,把我以前写过的题回顾一下. Noip2007 树网的核:floyd,推出性质,暴力. Noip2008 笨小猴:模拟 Noip2008 火柴棒等式:枚举 Noip2008 传纸条:棋盘dp ...
基础省选＋NOI-第7部分概率统计与多项式
1.FFT https://www.bilibili.com/video/BV1V7411c7yP https://www.bilibili.com/video/BV1aW411v7Kb https: ...
信息学奥赛一本通提高篇第5章矩阵乘法
例1 矩阵AXB 信息学奥赛一本通(C++版)在线评测系统 [矩阵乘法]矩阵A×B_Uletay-CSDN博客矩阵乘法--矩阵A×B_vina的博客-CSDN博客一本通1641[例 1]矩阵 A× ...

[C++][SCOI2009]迷路

文章目录

[SCOI2009]迷路

题目描述

输入格式：

输出格式：

输入样例：

输出样例

#1：

输入样例：

输出样例：

分析

拆点

小结代码

代码

[C++][SCOI2009]迷路相关推荐

最新文章

热门文章