场波知识整理——3.1几种介质中的传播规律

首先是时域和频域之间的Maxwell方程的转换:

时域：

∇×E‾=−∂B‾∂t\nabla\times\overline{E}=-\frac{\partial\overline{B}}{\partial{t}}∇×E=−∂t∂B

∇×H‾=∂D‾∂t+J‾\nabla\times\overline{H}=\frac{\partial\overline{D}}{\partial{t}}+\overline{J}∇×H=∂t∂D+J

∇⋅D‾=ρ\nabla\cdot\overline{D}=\rho∇⋅D=ρ

∇⋅B‾=0\nabla\cdot\overline{B}=0∇⋅B=0

频域:

时域上对t求偏导相当于频域上乘一个(−iω-i\omega−iω)

∇×E‾(r)=iωB‾(r)\nabla\times\overline{E}(r)=i\omega\overline{B}(r)∇×E(r)=iωB(r)

∇×H‾(r)=−iωD‾(r)+J‾(r)\nabla\times\overline{H}(r)=-i\omega\overline{D}(r)+\overline{J}(r)∇×H(r)=−iωD(r)+J(r)

∇⋅D‾(r)=ρ(r)\nabla\cdot\overline{D}(r)=\rho(r)∇⋅D(r)=ρ(r)

∇⋅B‾(r)=0\nabla\cdot\overline{B}(r)=0∇⋅B(r)=0

继续写，代入B与H、E与D之间的关系:

D‾=ϵE‾,B‾=μH‾\overline{D}=\epsilon\overline{E},\overline{B}=\mu\overline{H}D=ϵE,B=μH

分下面几种情况：

1.无源（J‾=0\overline{J}=0J=0）

∇×∇×E‾=iωμ0∇×H‾=ω2μ0ϵ0E‾\nabla\times\nabla\times\overline{E}=i\omega\mu_0\nabla\times\overline{H}=\omega^2\mu_0\epsilon_0\overline{E}∇×∇×E=iωμ0∇×H=ω2μ0ϵ0E

(∇2+ω2μ0ϵ0)E‾=0(\nabla^2+\omega^2\mu_0\epsilon_0)\overline{E}=0(∇2+ω2μ0ϵ0)E=0

E‾=x^eikzk2=ω2μ0ϵ0\overline{E}=\hat{x}e^{ikz} \quad k^2=\omega^2\mu_0\epsilon_0E=x^eikzk2=ω2μ0ϵ0

2.导体

由欧姆定律，有：J‾=σE‾\overline{J}=\sigma\overline{E}J=σE

∇×H‾=−iωϵE‾+σE‾=−iωϵ(1+iσωϵ)E‾\nabla\times\overline{H}=-i\omega\epsilon\overline{E}+\sigma\overline{E}=-i\omega\epsilon(1+i\frac{\sigma}{\omega\epsilon})\overline{E}∇×H=−iωϵE+σE=−iωϵ(1+iωϵσ)E

定义ϵc=ϵ(1+iσωϵ)\epsilon_c=\epsilon(1+i\frac{\sigma}{\omega\epsilon})ϵc=ϵ(1+iωϵσ),则有:

∇×H‾=−iωϵcE‾\nabla\times\overline{H}=-i\omega\epsilon_c\overline{E}∇×H=−iωϵcE

k2=ω2μ0ϵck=ωμ0ϵ1+iσωϵ=kR+ikIk^2=\omega^2\mu_0\epsilon_c \quad k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon}\sqrt{1+\frac{i\sigma}{\omega\epsilon}}=k_R+ik_Ik2=ω2μ0ϵck=ωμ0ϵ1+ωϵiσ=kR+ikI

频域化时域：

E‾=Re{E‾⋅e−iωt}\overline{E}=Re\{\overline{E}\cdot{e^{-i\omega{t}}}\}E=Re{E⋅e−iωt}

=Re{x^ei(kR+ikI)ze−iωt}=Re\{\hat{x}e^{i(k_R+ik_I)z}e^{-i\omega{t}}\}=Re{x^ei(kR+ikI)ze−iωt}

=x^e−kIzcos⁡(kRz−ωt)=\hat{x}e^{-k_Iz}\cos(k_Rz-\omega{t})=x^e−kIzcos(kRz−ωt)

我们认为当电场的强度变为原来的1e\frac{1}{e}e1时，就已经完全衰减，定义此距离为趋肤深度dpd_pdp（Penetration depth）

因此有e−1=ekIdpdp=1kIe^{-1}=e^{k_Id_p} \quad d_p=\frac{1}{k_I}e−1=ekIdpdp=kI1

（1）电导率低的导体（slightly conducting medium）

σωϵ<<1且σωϵ≠0\frac{\sigma}{\omega\epsilon}<<1且\frac{\sigma}{\omega\epsilon}\neq0ωϵσ<<1且ωϵσ=0

k=ωμ0ϵ(1+iσ2ωϵ)kI=σ2μ0ϵk=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon}(1+i\frac{\sigma}{2\omega\epsilon}) \quad k_I=\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon}}k=ωμ0ϵ(1+i2ωϵσ)kI=2σϵμ0

dp=2σϵμ0d_p=\frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu_0}}dp=σ2μ0ϵ

（2）电导率高的导体（highly conducting medium）

σωϵ>>1\frac{\sigma}{\omega\epsilon}>>1ωϵσ>>1

k=ωμ0ϵ⋅i⋅σωϵ=ωμ0σ2(1+i)k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon}\cdot\sqrt{i}\cdot\sqrt{\frac{\sigma}{\omega\epsilon}}=\sqrt{\frac{\omega\mu_0\sigma}{2}}(1+i)k=ωμ0ϵ⋅i⋅ωϵσ=2ωμ0σ(1+i)

kR=kI=ωμ0σ2k_R=k_I=\sqrt{\frac{\omega\mu_0\sigma}{2}}kR=kI=2ωμ0σ

dp=2ωμ0σd_p=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}}dp=ωμ0σ2

3.电浆（Plasma Medium）

f‾=qE‾=mdv‾dt=−iωmv‾\overline{f}=q\overline{E}=m\frac{d\overline{v}}{dt}=-i\omega m\overline{v}f=qE=mdtdv=−iωmv

J‾=Nqv‾=iNq2ωmE‾\overline{J}=Nq\overline{v}=i\frac{Nq^2}{\omega m}\overline{E}J=Nqv=iωmNq2E

ωp=Nq2mϵ0\omega_p=\sqrt{\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}}ωp=mϵ0Nq2

∇×H‾=−iωϵ0E‾+J‾=−iωϵ0(1−ωp2ω2)\nabla\times\overline{H}=-i\omega\epsilon_0\overline{E}+\overline{J}=-i\omega\epsilon_0(1-\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2})∇×H=−iωϵ0E+J=−iωϵ0(1−ω2ωp2)

定义ϵp=ϵ0(1−ωp2ω2)\epsilon_p=\epsilon_0(1-\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2})ϵp=ϵ0(1−ω2ωp2)，则有k2=ω2μ0ϵpk^2=\omega^2\mu_0\epsilon_pk2=ω2μ0ϵp

（1）ω≥ωpk=ωμ0ϵ01−ωp2ω2=kR\omega\geq\omega_p \quad k=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\sqrt{1-\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2}}=k_Rω≥ωpk=ωμ0ϵ01−ω2ωp2=kR

（2）ω≤ωpk=iωμ0ϵ0ωp2ω2−1=ikI\omega\leq\omega_p \quad k=i\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\sqrt{\frac{{\omega_p}^2}{{\omega}^2}-1}=ik_Iω≤ωpk=iωμ0ϵ0ω2ωp2−1=ikI

E‾=x^eikz=x^e−kIz\overline{E}=\hat{x}e^{ikz}=\hat{x}e^{-k_Iz}E=x^eikz=x^e−kIz

H‾=y^1iωμ0(−kI)e−kIz\overline{H}=\hat{y}\frac{1}{i\omega\mu_0}(-k_I)e^{-k_Iz}H=y^iωμ01(−kI)e−kIz

S‾=E‾×H‾∗=z^ikIωμ0e−kIz\overline{S}=\overline{E}\times\overline{H}^*=\hat{z}i\frac{k_I}{\omega\mu_0}e^{-k_Iz}S=E×H∗=z^iωμ0kIe−kIz

<S‾>=12Re{S‾}=0<\overline{S}>=\frac{1}{2}Re\{\overline{S}\}=0<S>=21Re{S}=0

这种波我们称为倏逝波

4.洛伦兹介质（Lorentz medium）

qE‾=f‾=m(d2r‾dt2+γdr‾dt+ω02r‾),γq\overline{E}=\overline{f}=m(\frac{d^2\overline{r}}{dt^2}+\gamma\frac{d\overline{r}}{dt}+\omega_0^2\overline{r}),\gammaqE=f=m(dt2d2r+γdtdr+ω02r),γ为碰撞频率

与电浆的推导进行对比，可以得出：

J‾=Nqv‾=Nq(−iω)qE‾m[(−iω)2+(−iω)γ+ω02]\overline{J}=Nq\overline{v}=Nq(-i\omega)\frac{q\overline{E}}{m[(-i\omega)^2+(-i\omega)\gamma+\omega_0^2]}J=Nqv=Nq(−iω)m[(−iω)2+(−iω)γ+ω02]qE

定义ϵL=ϵ(1−ωp2ω2−ω02+iωγ)\epsilon_L=\epsilon(1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2-\omega_0^2+i\omega\gamma})ϵL=ϵ(1−ω2−ω02+iωγωp2)

k2=ω2μϵLk^2=\omega^2\mu\epsilon_Lk2=ω2μϵL

ϵL=ϵ[1−(ω2−ω02)ωp2(ω2−ω02)2+(ωγ)2]+iωγωp2(ω2−ω02)2+(ωγ)2\epsilon_L=\epsilon[1-\frac{(\omega^2-\omega_0^2)\omega_p^2}{{(\omega^2-\omega_0^2)}^2+(\omega\gamma)^2}]+i\frac{\omega\gamma\omega_p^2}{{(\omega^2-\omega_0^2)}^2+(\omega\gamma)^2}ϵL=ϵ[1−(ω2−ω02)2+(ωγ)2(ω2−ω02)ωp2]+i(ω2−ω02)2+(ωγ)2ωγωp2

其实部与虚部图像如下：

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