论文中的一些数学符号表示

向量点乘

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。

对于向量aaa和bbb，A=[a1,a2,…an]A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}\right] \quadA=[a1,a2,…an]，B=[b1,b2,…bn]B=\left[b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}\right] \quadB=[b1,b2,…bn]

A⋅B=∑aibi\mathrm{A} \cdot \mathbf{B}=\sum a_{i} b_{i}A⋅B=∑aibi
或者：
A⋅B=∣A∥B∣cos⁡θ\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=|\mathbf{A} \| \mathbf{B}| \cos \thetaA⋅B=∣A∥B∣cosθ

向量叉乘

向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。以三维向量为例

A×B=∣ijka1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−b2a3)i−(a1b3−b1a3)j+(a1b2−b1a2)kA\times B =\left|\begin{array}{lll} i & j & k \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=\left(a_{2} b_{3}-b_{2} a_{3} \right) i-\left(a_{1} b_{3}-b_{1}a_{3} \right) j+\left(a_{1} b_{2}-b_{1}a_{2}\right) k A×B=∣∣∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣∣∣=(a2b3−b2a3)i−(a1b3−b1a3)j+(a1b2−b1a2)k

其中: i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)i=(1,0,0) \quad \mathrm{j}=(0,1,0) \quad \mathrm{k}=(0,0,1)i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)

张量（矩阵）点乘

张量（矩阵）的点乘，又叫哈达马积（Hadamard product），矩阵对应位置的元素相乘

m×nm \times nm×n 矩阵 A=[aij]A=\left[a_{i j}\right]A=[aij] 与 m×nm \times nm×n 矩阵 B=[bij]B=\left[b_{i j}\right]B=[bij] 的Hadamard积记作 A∗BA * BA∗B 。

其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积 (A∗B)ij=aijbij(A * B)_{i j}=a_{i j} b_{i j}(A∗B)ij=aijbij ，例如
(132100122)∗(002750211)=(1⋅03⋅02⋅21⋅70⋅50⋅01⋅22⋅12⋅1)=(004700222)\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right) *\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \\ 1 \cdot 7 & 0 \cdot 5 & 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 4 \\ 7 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right) ⎝⎛111302202⎠⎞∗⎝⎛072051201⎠⎞=⎝⎛1⋅01⋅71⋅23⋅00⋅52⋅12⋅20⋅02⋅1⎠⎞=⎝⎛072002402⎠⎞

张量（矩阵）克罗内克乘积

克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，也叫直积或张量积。计算过程如下例所示:
(1231)⊗(0321)=(1⋅01⋅32⋅02⋅31⋅21⋅12⋅22⋅13⋅03⋅31⋅01⋅33⋅23⋅11⋅21⋅1)=(0306214209036321)\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right) \otimes\left(\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) (1321)⊗(0231)=⎝⎜⎜⎛1⋅01⋅23⋅03⋅21⋅31⋅13⋅33⋅12⋅02⋅21⋅01⋅22⋅32⋅11⋅31⋅1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛0206319304026231⎠⎟⎟⎞

拼接

张量（矩阵）的拼接可以按照不同的维度拼接

按照第一维度拼接：

(1231)⊕(0321)=(12033121)\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right)\oplus\left(\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ \end{array}\right)(1321)⊕(0231)=(13210231)

按照第二维度拼接：

(1231)⊕(0321)=(12310321)\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}\right)\oplus\left(\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right)(1321)⊕(0231)=⎝⎜⎜⎛13022131⎠⎟⎟⎞

此外，数乘表示一个标量乘以一个矩阵或者向量中的每个元素