[数分提高]2014-2015-2第6教学周第2次课讲义 3.4 导数的综合应用

1. 试证: $$\bex \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|} +\frac{|b|}{1+|b|}. \eex$$

2. 试证: (1). $$\bex 0<x<1\ra x-\frac{1}{x}<2\ln x. \eex$$ (2). 设 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上 $\searrow$, 可导, $$\bex x\in (0,\infty)\ra 0<f(x)<|f'(x)|, \eex$$ 则 $$\bex 0<x<1\ra xf(x)>\frac{1}{x}f\sex{\frac{1}{x}}. \eex$$ (3). $$\bex s>0 \ra \frac{n^{s+1}}{s+1}<1^s+2^s+\cdots+n^s<\frac{(n+1)^{s+1}}{s+1}. \eex$$

3. 试求 $$\bex \max\sed{\al;\ \sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\al}\leq e,\ \forall\ n};\quad\quad \min\sed{\beta;\ \sex{1+\frac{1}{n}}^{n+\beta}\geq e,\ \forall\ n}. \eex$$

4. 试证: $$\bex 0<x<1\ra \sum_{i=1}^n x^i(1-x)^{2i}\leq \frac{4}{23}. \eex$$

5. 试证: $$\bex 0<x<\frac{\pi}{2}\ra \sex{\frac{\sin x}{x}}^3\geq \cos x. \eex$$

6. 试证: $$\bex x<0\ra \frac{1}{x}+\frac{1}{\ln(1-x)}<1. \eex$$

7. 试证: $$\bex \frac{e^a-e^b}{a-b}<\frac{e^a+e^b}{2},\quad a\neq b. \eex$$

作业. 设 $f$ 定义在 $(-1,\infty)$ 上, 满足 $$\bex f'(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}\int_0^1 f(t)\rd t=0,\quad f(0)=1. \eex$$ 试求 $f'(x)$.

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