[数分提高]2014-2015-2第7教学周第1次课 (2015-04-14)

1. 设 $f\in C^2(\bbR)$, $f''(x)\geq 0$, $f(0)=0$. 对 $0<a<b$, 试比较 $f(a+b)$ 与 $f(a)+f(b)$ 的大小.

解答: 设 $F(x)=f(x+a)-f(x)-f(a)$, 则 $F(0)=0$, $F'(x)=f'(x+a)-f'(x)=f''(\xi_x)a\geq 0$. 故 $F(b)>0$, $f(a+b)\geq f(a)+f(b)$.

2. 设当 $x>-1$ 时, 可微函数 $f(x)$ 满足条件 $$\bex f'(x)+f(x)-\cfrac{1}{x+1}\int_0^x f(t)\rd t=0, \eex$$ 且 $f(0)=1$. 试求 $f'(x)$.

解答: $$\beex \bea &\quad f'(x)+f(x)-\cfrac{1}{x+1}\int_0^x f(t)\rd t=0\\ &\ra f'(x)+f(0)+\int_0^x f'(s)\rd s -\cfrac{1}{x+1}\int_0^x \sez{f(0)+\int_0^t f'(s)\rd s}\rd t=0\\ &\ra f'(x)+1+\int_0^x f'(s)\rd s -\cfrac{x}{x+1}-\cfrac{1}{x+1}\int_0^x (x-s)f'(s)\rd s=0\\ &\ra f'(x)+\cfrac{1}{x+1}+\cfrac{1}{x+1}\int_0^x (s+1)f'(s)\rd s=0\\ &\ra (x+1)f'(x)+1+\int_0^x(s+1)f'(s)\rd s=0\\ &\ra F'(x)+1+F(x)=0\quad \sex{F(x)=\int_0^x (s+1)f'(s)\rd s}\\ &\ra [e^xF(x)]'=-e^x\\ &\ra e^xF(x)=1-e^x\\ &\ra F(x)=e^{-x}-1\\ &\ra (x+1)f'(x)=-e^{-x}\\ &\ra f'(x)=-\cfrac{e^{-x}}{x+1}. \eea \eeex$$

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