行列式(二)：余子式代数余子式

按行列展开

\(\Delta\)以下内容主要为《线性代数》的学习笔记

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一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简单得多，因此考虑用低阶行列式来表示高阶行列式。为此，我们引入余子式和代数余子式的概念。
相当于对行列式进行降阶处理以方便运算

定义

余子式：
在\(n\)阶行列式中，把\((i, j)\)元\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列划去后(相当于用1代替)，留下来的\(n - 1\)阶行列式叫做\((i, j)\)元的\(a_{ij}\)的余子式，记做\(M_{ij}\);

代数余子式：
记：
\[A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}\]
则把\(A_{ij}\)叫做\((i, j)\)元\(a_{ij}\)的代数余子式。

引理

一个\(n\)阶行列式，如果其中第\(i\)行所有元素除\((i, j)\)元\(a_{ij}\)外都为零，那么这行列式等于\(a_{ij}\)与它的代数余子式的乘积，即：
\[D = A_{ij}\].

定理2

行列式按行(列)展开法则：行列式等于它任意行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：
\[ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}\]
或
\[D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj}\]
推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：
\[a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = 0,\quad i \ne j\]
或
\[a_{1i}A_{1i} + a_{2i}A_{2i} + ... + a_{ni}A_{ni} = 0,\quad i \ne j\]

综合定理2及其推论，可以得到有关代数余子式的重要性质：

\[\sum_{k = 1}^{n}a_{ki}A_{ki} = \begin{cases} D, \quad i = j\\ 0, \quad i \ne j \end{cases}\]
或
\[\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}A_{ik} = \begin{cases} D, \quad i = j\\ 0, \quad i \ne j \end{cases}\]

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