线性代数之——行列式公式及代数余子式

计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 n!n!n! 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。

主元的乘积为 2∗32∗43∗54=52 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} = 52∗23∗34∗45=5。
大公式有 4!=244!=244!=24 项，但只有 5 个非零项。

detA=16−4−4−4+1=5det A = 16-4-4-4+1 = 5detA=16−4−4−4+1=5

16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其余的通过公式我们也都可以找到。

代数余子式公式用第一行的数字 2，-1，0， 0分别乘以它们的代数余子式 4， 3， 2， 1，得到 8-3 = 5。

1. 主元公式

消元过程会让主元 d1,⋯ ,dnd_1,\cdots,d_nd1,⋯,dn 最后出现在矩阵 UUU 的对角线上，如果没有行交换，那么有：

detA=(detL)(detU)=(1)(d1d2⋯dn)det A = (det L)(det U) = (1)(d_1d_2\cdots d_n)detA=(detL)(detU)=(1)(d1d2⋯dn)

如果有行交换，那么有 PA=LUPA=LUPA=LU 而且有 ∣P∣=±1|P| = \pm1∣P∣=±1，所以

detA=±(d1d2⋯dn)det A = \pm(d_1d_2\cdots d_n)detA=±(d1d2⋯dn)

如果主元的个数少于 nnn，那么 detA=0det A=0detA=0，矩阵是不可逆的。

例 1

例 2

detA=2∗32∗43∗54⋯∗n+1n=n+1det A = 2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} \cdots *\frac{n+1}{n} = n+1detA=2∗23∗34∗45⋯∗nn+1=n+1

而且，我们可以看到，前 kkk 个主元来自于矩阵 AAA 左上角大小为 k×kk×kk×k 的矩阵 AkA_kAk。

detAk=d1d2⋯dkdet A_k = d_1d_2\cdots d_kdetAk=d1d2⋯dk

假设没有行交换，那在我们消元的过程中，有 Ak=LkUkA_k = L_kU_kAk=LkUk，因此

detAkdetAk−1=detUkdetUk−1→dk=d1d2⋯dk−1dkd1d2⋯dk−1\frac{det\space A_k}{det \space A_{k-1}}=\frac{det\space U_k}{det \space U_{k-1}} \to d_k=\frac{d_1d_2\cdots d_{k-1}d_k}{d_1d_2\cdots d_{k-1}}det Ak−1det Ak=det Uk−1det Uk→dk=d1d2⋯dk−1d1d2⋯dk−1dk

2. 大公式

大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式，一个 3×33×33×3 矩阵的计算公式如下所示。

注意到，每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列，而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。

由行列式的线性性质我们可以将一个 2×22×22×2 矩阵的行列式分成四项：

其中，第一个和第四个行列式为 0，因为它们有全零列。因此，只余下 2!=22!=22!=2 项需要计算。

对于一个 3×33×33×3 的矩阵，其行列式可以分成 27 项，但只有 6 个非零项。

前面三个置换矩阵有偶数次行交换，因此其行列式为 1；而后面三个置换矩阵有奇数次行交换，因此其行列式为 -1。

因此，矩阵 AAA 的行列式是 n!n!n! 项简单行列式的和，每一项的系数是 1 或者 -1，其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。

3. 代数余子式公式

利用行列式的线性性质，我们将第一行的三个元素分别提取出来，可以得到。

其中，括号里面的项称为代数余子式（cofactor），它们是 2×22×22×2 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 a11，a12，a13a_{11}，a_{12}，a_{13}a11，a12，a13，余下的行贡献出代数余子式 C11，C12，C13C_{11}，C_{12}，C_{13}C11，C12，C13，然后行列式的值就是 a11C11+a12C12+a13C13a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}a11C11+a12C12+a13C13。

接下来，我们需要注意符号。要计算 C1jC_{1j}C1j，我们划掉第 111 行第 jjj 列来产生一个大小为 n−1n-1n−1 的子矩阵 M1jM_{1j}M1j，然后

C1j=(−1)1+jdetM1jC_{1j} = (-1)^{1+j} det \space M_{1j}C1j=(−1)1+jdet M1j

detA=a11C11+a12C12+⋯+a1nC1ndet \space A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n}det A=a11C11+a12C12+⋯+a1nC1n

注意，对其它行来说，也有同样的情况。对 CijC_{ij}Cij 来说，我们划掉第 iii 行第 jjj 列来产生一个大小为 n−1n-1n−1 的子矩阵 MijM_{ij}Mij。

Cij=(−1)i+jdetMijC_{ij} = (-1)^{i+j} det \space M_{ij}Cij=(−1)i+jdet Mij

detA=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCindet \space A = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots +a_{in}C_{in}det A=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCin

同时，行列式也可以沿着某一列进行计算。

detA=a1jC1j+a2jC2j+⋯+anjCnjdet \space A = a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}det A=a1jC1j+a2jC2j+⋯+anjCnj

代数余子式公式在矩阵中有许多零时是非常有用的。

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