斐波那契数列

一、最基本的

所以，只要知道这个数列的前两项，就可以求出之后所有项了。
核心部分（最简单的递推方法，但是范围是n<=48，否则会超时and溢出）：

#include <cstdio> //头文件
int main()
{double f[50];int n, i;f[0] = 0;   //其实并没有用f[1] = 1;f[2] = 1;   //两个初始值scanf_s("%d", &n);for (i = 3; i <= n; i++)f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];  //开始使用斐波那契数列printf("%0.2lf", f[n]); //输出，保留两位小数return 0;
}

【注意，这种简单方法还有一种表示，就是用函数写，把递推式变成函数的递归调用，也很好理解。但是亲测会比递推式的时间长很多，n>35的时候就TLA了。因此这提示我们，函数的递归是很耗时的，不要多用。同时上述方法比较快的一个原因是用数组储存时，许多已经算过的数就不用算了，当然会快很多】

二、快速做法（矩阵乘法+快速幂）

矩阵乘法推导

F i = F i − 1 + F i − 2 F_i = F_{i-1} + F_{i-2} Fi=Fi−1+Fi−2
F i − 1 = F i − 1 + 0 F_{i-1} = F_{i-1} + 0 Fi−1=Fi−1+0

把两个式子转化为矩阵形式，即（都是2x2的方便写代码）
{ F i 0 F i − 1 0 } = { 1 1 1 0 } ∗ { F i − 1 0 F i − 2 0 } \left\{\begin{matrix}F_i&0\\F_{i-1}&0\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right\}*\left\{\begin{matrix}F_{i-1}&0\\F_{i-2}&0\end{matrix}\right\} {FiFi−100}={1110}∗{Fi−1Fi−200}

{ F i − 1 0 F i − 2 0 } = { 1 1 1 0 } ∗ { F i − 2 0 F i − 3 0 } \left\{\begin{matrix}F_{i-1}&0\\F_{i-2}&0\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right\}*\left\{\begin{matrix}F_{i-2}&0\\F_{i-3}&0\end{matrix}\right\} {Fi−1Fi−200}={1110}∗{Fi−2Fi−300}
…一直到

{ F 3 0 F 2 0 } = { 1 1 1 0 } ∗ { F 2 0 F 1 0 } \left\{\begin{matrix}F_3&0\\F_{2}&0\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right\}*\left\{\begin{matrix}F_{2}&0\\F_{1}&0\end{matrix}\right\} {F3F200}={1110}∗{F2F100}

总结即
{ F i 0 F i − 1 0 } = { 1 1 1 0 } ( i − 2 ) ∗ { F 2 0 F 1 0 } \left\{\begin{matrix}F_i&0\\F_{i-1}&0\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right\}^{(i-2)}*\left\{\begin{matrix}F_{2}&0\\F_{1}&0\end{matrix}\right\} {FiFi−100}={1110}(i−2)∗{F2F100}

即
{ F i 0 F i − 1 0 } = { 1 1 1 0 } ( i − 2 ) ∗ { 1 0 1 0 } \left\{\begin{matrix}F_i&0\\F_{i-1}&0\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right\}^{(i-2)}*\left\{\begin{matrix}1&0\\1&0\end{matrix}\right\} {FiFi−100}={1110}(i−2)∗{1100}

基于此方法，可以看到我们要求的就是一个矩阵的i-2次幂即可，然后 F i F_i Fi就等于结果再乘以一个[1 0 ，1 0] 的第 [0][0] 个元素。

而求幂，我们可以采用快速幂的方法：

快速幂

快速幂算法的核心思想就是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。

戳下面链接理解快速幂原理：
快速幂算法刘杨俊

//base为底数，power为指数，求结果的后三位（求后三位就对结果对1000取模即可）
#include<iostream>
using namespace std;long long fastPower(long long base, long long power)
{long long result = 1;while (power > 0) {if (power % 2 == 1)//如果指数为奇数result = result * base % 1000;//相当于结果里已经乘过一次被分离出来的底数了power = power / 2;    //不管对于奇数/偶数，除以2就是整数base = base * base % 1000;    //指数除2，则底数平方cout << "base:" << base << "power:" << power << endl;}
return result;
}int main() {int base, power;cin >> base >> power;cout << fastPower(base, power);return 0;
}

运行结果：

矩阵快速幂

首先矩阵乘法的模板长这样，还是很好理解的：

int main()
{int a[110][110] = {};int b[110][110] = {};int c[110][110] = {};int n = 0, m = 0, p = 0;cin >> n >> m;//矩阵a为n*m（n行m列） for (int i = 0; i < n; i++)    //一行一行地输入for (int j = 0; j < m; j++)scanf("%d", &a[i][j]);cin >> p;  //矩阵b为m*p（m行p列）for (int i = 0; i < m; i++)for (int j = 0; j < p; j++)scanf("%d", &b[i][j]);//重点在这里for (int i = 0; i < n; i++)   //矩阵c是a与b相乘得到的 for (int j = 0; j < p; j++) //n*p（n行p列） for (int k = 0; k < m; k++)c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];    //注意是求多项的和，是+=for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < p; j++)cout << c[i][j] << " ";cout << endl;}return 0;
}

矩阵快速幂即对矩阵使用快速幂的思想，既然求幂了就说明这是个方阵，设为NxN，对于方阵的乘法就要简洁很多：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;struct Matrix {long long a[N][N];
};   //定义一个结构，方便作为返回值，并且进行重载运算符，不然要写很多次函数hhhMatrix operator * (Matrix a, Matrix b) {   //重载对Matrix类型变量的运算符*（乘号），就是写的一个乘法，a和b都是NxN的方阵Matrix ans;memset(ans.a, 0, sizeof(ans.a));   //初始化为0for (int i = 0; i < N; i++)for (int j = 0; j < N; j++)for (int k = 0; k < N; k++)ans.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];return ans;
}

矩阵快速幂：把快速幂的思想应用于矩阵的方阵乘法【这里就是快速幂的核心了，和前面实数是一样的，如果指数是奇数则把底数y取出来，如果是偶数就使底数平方，指数-1…】

Matrix power(Matrix a, int p) {    //对a求p次幂的函数Matrix y = a, k = a;   //y是一个中间变量，k是结果int t = p;while (t) {if (t & 1) k = k * y;   //t&1，若t为奇数，则结果为1！y = y * y;t >>= 1;   //t-1的高端写法！}return k;
}

完整代码

把矩阵快速幂应用于斐波那契数列：
{ F i 0 F i − 1 0 } = { 1 1 1 0 } ( i − 2 ) ∗ { 1 0 1 0 } \left\{\begin{matrix}F_i&0\\F_{i-1}&0\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right\}^{(i-2)}*\left\{\begin{matrix}1&0\\1&0\end{matrix}\right\} {FiFi−100}={1110}(i−2)∗{1100}
就是，当求Fn的时候，只要求[1 1 ,1 0]的n-2次幂乘以[1 0 , 1 0]：

//所有数字的定义一定要记得是long long......血的教训#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 3;
const long long mod = 1000000007;   //一般结果都很大！要取模struct Matrix {long long out[N][N];
};   //定义一个结构，方便作为返回值，并且进行重载运算符，不然要写很多次函数hhhMatrix operator * (Matrix a, Matrix b) {//重载对Matrix类型变量的运算符*（乘号），就是写的一个乘法，a和b都是NxN的方阵Matrix ans;memset(ans.out, 0, sizeof(ans.out));   //初始化为0for (int i = 1; i < N; i++)for (int j = 1; j < N; j++)for (int k = 1; k < N; k++)ans.out[i][j] = ans.out[i][j] + (a.out[i][k] * b.out[k][j]) % mod;return ans;
}Matrix power(long long p) {    //对底数求p次幂的函数Matrix base;base.out[1][1] = 1;base.out[1][2] = 1;base.out[2][1] = 1;base.out[2][2] = 0;Matrix ans;ans.out[1][1] = 1;ans.out[1][2] = 0;ans.out[2][1] = 0;ans.out[2][2] = 1;long long t = p;while (t > 0) {if (t & 1)   //t&1，若t为奇数，则结果为1！{Matrix tmp = ans * base;for (int i = 1; i < N; i++)for (int j = 1; j < N; j++)ans.out[i][j] = tmp.out[i][j];}Matrix tmp = base * base;for (int i = 1; i < N; i++)for (int j = 1; j < N; j++)base.out[i][j] = tmp.out[i][j];t >>= 1;   //t-1的高端写法！}return ans;
}int main() {long long n;cin >> n;n = n - 2;if (n == 1 || n == 2){cout << 1;return 0;}Matrix result = power(n);long long feib = (result.out[1][1]+result.out[1][2]) % mod;printf("%lld\n", feib);return 0;
}

三、理论表达式

有这么一道题目很有意思的题：

如果不熟悉斐波那契数列可能还需要花费一些时间…所以在这里把这一点列出来，只要看出了这道题的本质就是求斐波那契数列，就非常的简单了。

（摘自洛谷密期望的题解）

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