lyapunov直接法

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定义6.6
Lyapunov第一定理
Lyapunov第二定理（用于刻画渐进稳定）
内积分析

定义6.6

Lyapunov第一定理

假设 A ⊂ C A\subset C A⊂C是闭的，如果存在A的邻域D和满足下面两条件的连续函数， v : D → R + v:D \rightarrow R_+ v:D→R+,那么集合A是Lyapunov稳定的。
{ v ( x ) = 0 , 当且仅当 x ∈ A v ( ξ ( t , x ) ) ≤ v ( x ) , 若 x ∉ A , t > 0 且 ξ ( s , x ) ∈ D , ∀ s ∈ [ 0 , t ] \begin{cases}v(x)=0,当且仅当x\in A\\v(\xi(t,x))\leq v(x),若x\notin A,t>0且\xi(s,x)\in D,\forall s\in[0,t] \end{cases} {v(x)=0,当且仅当x∈Av(ξ(t,x))≤v(x),若x∈/A,t>0且ξ(s,x)∈D,∀s∈[0,t]
当 x ∉ A x\notin A x∈/A时, v ( ξ ( t , x ) ) ≤ v ( x ) v(\xi(t,x))\leq v(x) v(ξ(t,x))≤v(x)表示随着时间的推移，解需要逐渐下移从而达到Lyapunov稳定。若当 x ∉ A x\notin A x∈/A时所有解均满足此类关系，那么称集合A是Lyapunov稳定的。

Lyapunov第二定理（用于刻画渐进稳定）

假设 A ⊂ C A\subset C A⊂C是闭的，当且仅当A是渐进稳定的，存在A的邻域D和满足下面两条件的连续函数， v : D → R + v:D \rightarrow R_+ v:D→R+
{ v ( x ) = 0 , 当且仅当 x ∈ A v ( ξ ( t , x ) ) ≤ v ( x ) , 若 x ∉ A , t > 0 且 ξ ( s , x ) ∈ D , ∀ s ∈ [ 0 , t ] \begin{cases}v(x)=0,当且仅当x\in A\\v(\xi(t,x))\leq v(x),若x\notin A,t>0且\xi(s,x)\in D,\forall s\in[0,t] \end{cases} {v(x)=0,当且仅当x∈Av(ξ(t,x))≤v(x),若x∈/A,t>0且ξ(s,x)∈D,∀s∈[0,t]

两个定理问题在于，没有给出如何寻找v函数的方法，以及单调性条件不容易验证。
但是，若 ξ \xi ξ是 x ˙ = ϕ ( x ) \dot{x}=\phi(x) x˙=ϕ(x)的解且向量场 ϕ \phi ϕ是连续可微的，可以采用值函数v和向量场 ϕ \phi ϕ的等高线图来分析。

内积分析

向量 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)是通过x的解曲线的切线方向
∇ v ( x ) \nabla v(x) ∇v(x)是v上升最陡峭的地方

如果内积 ϕ ( x ) ⋅ ∇ ( x ) \phi(x)·\nabla(x) ϕ(x)⋅∇(x)为负，那么v沿着解 ξ \xi ξ递减。而内积 ϕ ( x ) ⋅ ∇ ( x ) \phi(x)·\nabla(x) ϕ(x)⋅∇(x)其实是 v ( ξ ( t , x ) ) v(\xi(t,x)) v(ξ(t,x))的时间导数。

因此：

若满足
{ v ( x ) = 0 , 当且仅当 x ∈ A ϕ ( x ) ⋅ ∇ ( x ) < 0 若 x ∉ A \begin{cases}v(x)=0,当且仅当x\in A\\\phi(x)·\nabla(x)<0\quad若x\notin A\end{cases} {v(x)=0,当且仅当x∈Aϕ(x)⋅∇(x)<0若x∈/A此时A是渐进稳定
若满足
{ v ( x ) = 0 , 当且仅当 x ∈ A ϕ ( x ) ⋅ ∇ ( x ) ≤ 0 若 x ∉ A \begin{cases}v(x)=0,当且仅当x\in A\\\phi(x)·\nabla(x)\leq0\quad若x\notin A\end{cases} {v(x)=0,当且仅当x∈Aϕ(x)⋅∇(x)≤0若x∈/A此时A是Lyapunov稳定

本文参考《演化博弈论》乔根·W·布威尔 [著]