线性代数导论32——基变换和图像压缩

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址： http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

第三十二课时：基变换和图像压缩

本讲关于基变换，从一组基变换到另外一组基，这在应用中比较常见，还会讲有关应用信号压缩，图像压缩。主题仍是线性变换与矩阵关联。

图像压缩——傅里叶变换

压缩包括无损压缩和有损压缩，这里讲有损压缩。

假设有一张静态黑白图像，像素512×512，每个像素点的颜色是0~255中的一个数表示的灰度值，占8个比特位。那么，实际上就是对R ⁿ中的向量x做操作，n=512×512，一个图像就是一个长度为512×512的向量，如果是彩色图像，得到的向量长度就是这个的三倍，因为彩色需要用三个值来表示。所以这是相当大的信息量，需要将其压缩。标准压缩方式，即JPEG，表示联合图像专家组。这个压缩技术就是基变换。

如上描述，在标准基（单位矩阵I所表示的基）中，图像向量x为一个长度为512平方的向量，向量中的元素值为0~255的灰度值，当一些像素点的灰度一样或者非常接近的的时候，这就是一副标准基很差的图像。一个基本的事实，给出每个像素值的标准基，没有利用上很多地方灰度值一样的特点，我们得到的大部分像素点其灰度值和相邻像素灰度值是一样的。

因此，我们要将标准基变换为一个好的基

标准基是由所有的维都是1，其他都是0的向量组成，如下图左。

好的基是所有元素都为1的向量（因为如果用这个基向量来表示信号的话，基变换后此维只需要一个系数就能表示，另外，这样的是平滑的信号，低频，频率为0），如上图右，一个向量就能完整地给出所有像素一致图像的信息，（当然我们的图像像素不是一致的，混合一些其他信号），在基中有这样一个向量能解决很大问题。其他的基向量是多少？极端情况下，其中的向量就是(1,-1,1,-1,1,-1...)，（表示高频信号，抖动或噪音）这个向量像一个棋盘向量，黑白相间，这个向量能包含所有信息；更常见的是一半图像暗，一半图像亮，此时的基向量就为(1,1,1,1,-1,-1,-1..)一半1，一半-1（这样做的目的是为了使用一个系数就能表示出一半亮一半暗的向量）。因此，我们要知道这组基可能会是什么，首先，先把所有的基排列好，然后来选择它，不同行业的从业人员选择不会，归根结底这是线性代数基的选择问题。

那么， JPEG所用的最好的基就是傅里叶基，通常选择8×8的基，是指对于一个大的信号，512×512，一次处理就太大了，分解成8×8的块，每块64个像素，在这小块上做基变换。傅里叶基如下（记得以前讲过傅里叶矩阵，就是那个）

那JPEG是怎么压缩的呢？

每个8×8的小块有64个系数，64个基向量，64个像素，在64维空间中，利用傅里叶向量做基变换。

步骤为：

1）输入信号x，用傅里叶基进行基变换，得到傅里叶基下的系数c（用快速傅里叶变换FFT求得），这一步是无损的。

2）压缩：可以扔掉一些小的系数（叫做阈值量化，设定人肉眼看不出区别的阈值，每个系数，每个基向量，不在其中的，超过阈值的将丢掉），因此压缩步得到压缩后的一套系数c'，很多是0。这一步是有损的。

3）用新的系数c'重构信号x'。x'=∑ci'vi，此时求和项因为丢掉原因不再有64项，或许只有2,3项。

因此这样就起到了图像压缩的作用。

一个好的基需要有哪些性质？

1）计算快；

2）良好的压缩性，少量的基向量就能接近信号，能够重现图像。

小波基wavelets——傅里叶基的竞争对手

以R ⁸8×8为例。小波基为（这只是小波基的一个特例，小波基也可能选择别的不一样的向量，比如FBI在做指纹压缩的时候倾向于用更平滑的小波基）：（后面三个没写出来的基向量是(0,0,1,-1,0,0,0,0),(0,0,0,0,1,-1,0,0),(0,0,0,0,0,0,1,-1)）

对于频率变换大的信号（如上面所述（1,-1,1,-1...））怎么写成小波基组合的形式？它是最后四个小波基的和。

小波变换要做的事即：标准基下的像素值系数向量（也即输入信号）P(p1,p2....p8)表示成小波基的组合形式，这是变换步。组合的8个系数c1,c2...c8即新的基下的系数。

如何求这8个系数，将此等式表示成小波矩阵形式。

这就是基变换，求解方程P=Wc，c=W^-1P，很好的基是能够快速求逆的。（好基：计算快，正交的。小波基不是标准的，变为标准的需要除以长度，这只是个常数因子），快速傅里叶变换FFT能够很快计算，同时，也有快速小波变换很快求逆（如果矩阵正交，其逆为矩阵的转置）。

基变换

已知一个基上的向量，变换到不同的基中。如小波矩阵W的列向量是新基的向量。已知旧基下的向量x，转换成新基下的向量c

矩阵变换

已知确定的线性变换T：T(x)=Ax，是对于n×n的矩阵来说的。有两组基，第一组以v1,v2...v8为基，有矩阵A，第二组以w1,w2...w8为基，有矩阵B，T(x)=Bx， A和B来自同一线性变换T（来自同一变换的意思是A,B是同一变换的不同表示形式，因为选择的基不同），在一组基上计算得到一个矩阵A，然后在另一组基上计算另一个矩阵B。A和B有什么联系？

A和B是相似的，即有B=M^-1AM，M就是基变换矩阵。

线性变换，如果变成一组不同的基去做变换，发生了两件事：

1）每个向量有了新坐标，新旧坐标的关系为x=Wc；

2）每个矩阵变了，每一个变换有一个新矩阵，新矩阵之间的关系就是B=M^-1AM。

具体的，A是什么？(A是变换T的矩阵)

已知有线性变换T，T(v1),T(v2)...T(v8)，A中的每一个向量x=c1v1+c2v2+...+c8v8，T(x)=c1T(v1)+c2T(v2)...c8T(v8)

也就是说，如果知道T作用在每个基向量的结果，那么就知道一切了。所以第一个向量变换结果就是这八个基向量的某个组合。假设对v1,v2..v8进行变换呢？线性变换T对基的作用，那么有（下图中等式有假设：输入和输出都是使用一组基，比如做投影时的变换）：

在信号图像应用中，很多情况下用小波基或者傅里叶基，但最好的基是特征向量基，不过找特征向量基代价较大。

假如v1到v8这组基是特征向量，即一组特征向量基，那么 Avi=T(vi)=λivi，T(vi)和vi同向，此时，A是什么？

第一列的输入为v1，输出为λ1v1，第二列的输入为v2，输出为λ2v2....，那么A是特征值对角阵Λ。

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