泰勒级数为什么不可以展开？

之前写了两篇关于复数的文章了：

复数，通往真理的最短路径
欧拉公式，复数域的成人礼

其中提到复数的发现是源于解一元三次方程：

$x^3-15x-4=0$

其实在我们学习路径上，一般也不会碰到解一元三次方程的问题，真正引起我对复数思考的是：

$\frac{1}{1+x^2}$

泰勒级数展开的问题（关于这个问题，之前写过“使用泰勒公式进行估算时，在不同点有啥区别？”，更初级、更详细一些，感兴趣可以看下）。

1 泰勒级数展开

1.1 $\sin x$

我们知道 $\sin x$ 的麦克劳林级数（即 $x=0$ 点的泰勒级数）为：

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots$

取前面三项（用 $t=3$ 表示取了前三项）就可以在 $0$ 周围近似 $\sin x$ ：

取的项数越多（注意看下图中的 $t$ ），对 $\sin x$ 的近似就越好：

当 $t\to\infty$ 时，麦克劳林级数可以无限逼近于 $\sin x$ ，这些是泰勒级数的基本概念，这里不再赘述。

1.2 $\frac{1}{1-x^2}$

这个函数：

它的麦克劳林级数为：

$f(x)=\frac{1}{1-x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k}=1+x^2+x^4+\cdots$

随着 $t$ 增大，麦克劳林级数会无限逼近 $-1 < x <1$ 之间的 $f(x)$ ：

这样的结果还是比较好理解，因为 $f(x)$ 有两个无穷间断点：

而它的麦克劳林级数是连续函数，自然没有办法跨越这两个间断点，所以 $f(x)$ 的麦克劳林级数的完整写法是：

$f(x)=\frac{1}{|1-x^2|}=\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k}=1+x^2+x^4+\cdots,\quad \color{red}{-1 < x < 1}$

即在 $-1 < x < 1$ 区间才有效，超出这个范围，麦克劳林级数就没法逼近 $f(x)$ 了：

因为左右距离展开点 $x=0$ 都是 $1$ ：

所以也说在 $x=0$ 点处，此泰勒级数的收敛半径为 $1$ 。

1.3 $\frac{1}{1+x^2}$

而这个函数：

它的麦克劳林级数为：

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}=1-x^2+x^4-\cdots$

随着 $t$ 增大，麦克劳林级数：

努力地在扩大近似的范围，但依然被局限在 $-1 < x < 1$ 的阴影内，所以麦克劳林级数的完整写法应该是：

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}=1-x^2+x^4-\cdots,\quad\color{red}{-1 < x < 1}$

可是这又没有什么间断点，为什么会这样？

2 复数域的真相

直到有一天，把：

$g(x)=\frac{1}{1+x^2},\quad(x\in\mathbb{R})$

的定义域从实数域变到复数域：

$g(z)=\frac{1}{1+z^2},\quad(\color{red}{z\in\mathbb{C}})$

然后作出这个函数的图像（因为自变量 $z$ 和函数 $g(z)$ 都是二维的，本来要画出来需要四维空间，下图只画了 $g(z)$ 的实部）：

用垂直于实轴的平面去切这个函数：

可以看到，交线即是 $\frac{1}{1+x^2}$ ：

而用垂直于虚轴的平面去切这个函数，交线即是 $\frac{1}{1-x^2}$ ：

这两个函数原来是一个复数域函数的不同部分（乘以 $i$ 就相当于旋转 $90^\circ$ ）：

$g(x)=\frac{1}{1+x^2}\xrightarrow{\quad 自变量旋转90^\circ\quad }f(x)=g(ix)=\frac{1}{1-x^2}$

让我们尝试这么来演示， $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$ 作用在虚轴上（在三维图中很难看清楚细节，让我们将它旋转 $90^\circ$ 来表示），收敛半径为 $1$ ：

自变量旋转 $90^\circ$ 得到的就是 $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ，同时收敛半径也跟着旋转：

所以 $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 的泰勒级数（下图中绿色的曲线）被钳制在 $-1 < x < 1$ 这个范围内（这里的“所以”可能有点突兀，不过此处只是为了给一个直观，具体的证明可以参见维基百科）：

自变量是可以任意旋转的，因此收敛半径旋转后会得到一个收敛圆。维基百科上有幅图画的很清楚，图中白色的圆圈就是收敛圆（虚轴、实轴各自的泰勒级数也画在图上了）：

3 复数，让我们大开眼界

这个问题点亮了我，让我认识到，只知道实数，就好像生活在二维空间中的纸片人：

突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：

如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：

而这种让我们大开眼界的视角，正是复数。

（关于 $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 的泰勒级数的神秘现象，早就被柯西大神注意到了，也是他证明了收敛圆的存在。）

文章的最新版本在（可能会有后继更新）：泰勒级数为什么不能展开？

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