书接上回啊，上一篇详细的介绍了下标准卡尔曼滤波，使用卡尔曼滤波进行更新和预测都是建立在线性系统的基础上，因为高斯分布xkx_kxk预测后仍然是高斯分布，且高斯分布变换到观测空间后也仍然是符合高斯分布的。

然而，实际工程中，极少有系统是线性系统，那这种情况怎么使用卡尔曼滤波呢？

非线性处理

学过数学的都知道，线性函数可以使用下式进行表达，

f(x)=ax+b(1)f(x)=ax+b \tag{1} f(x)=ax+b(1)

然而其他的函数，比如，f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c，f(x)=sin⁡xf(x)=\sin{x}f(x)=sinx，f(x)=ln⁡xf(x)=\ln{x}f(x)=lnx，f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax等，这些都不是线性函数，按道理来说是都没办法使用卡尔曼滤波的，那工程中如何使用卡尔曼滤波呢？比如无人驾驶中的车辆运动学模型，如何使用卡尔曼滤波对车辆的位置进行跟踪？

大学那会都学过，任何光滑连续的曲线都是可微的，一个光滑的曲线可以用多个连续的短距离的直线来表示，如下图，

这就给我们在非线性系统上应用卡尔曼滤波提供了一种思路，可以使用泰勒级数对非线性系统进行展开，只取其一阶的泰勒级数，使用非线性系统当前位置的一阶泰勒级数进行近似和逼近。

扩展卡尔曼滤波

上面介绍了，如何将非线性系统通过泰勒展开成一阶系统，现在，来看一下EKF的整体计算流程。其实，扩展卡尔曼滤波与的整体流程与标准卡尔曼是大致相同的，如下，

第一步，确定状态预测方程，
x^k=Fkx^k−1+Bku⃗kPk=FkPk−1FkT+Qk(2)\hat{x}_{k}=F_{k} \hat{x}_{k-1} +B_{k}\vec{u}_{k} \\ \space P_{k}=F_{k}P_{k-1}F_{k}^{T} +Q_{k} \tag{2} x^k=Fkx^k−1+Bkuk Pk=FkPk−1FkT+Qk(2)

第二步，计算卡尔曼增益，
K′=PkHkT(HkPkHkT+Rk)−1(3)K^{'}=P_{k}H_{k}^{T}(H_{k}P_{k}H_{k}^{T}+R_{k})^{-1}　　　　\tag{3} K′=PkHkT(HkPkHkT+Rk)−1　　　　(3)

第三步，更新系统状态和协方差矩阵，
x^k′=x^k+K′(z⃗k−Hkx^k)Pk′=Pk−K′HkPk(4)\hat{x}_{k}^{'}=\hat{x}_{k}+K^{'}(\vec{z}_{k}-H_{k}\hat{x}_{k}) \\ \space \\ P_{k}^{'}=P_{k}-K^{'}H_{k}P_{k} \tag{4} x^k′=x^k+K′(zk−Hkx^k) Pk′=Pk−K′HkPk(4)

第四步，将系统状态方程泰勒展开到一阶方程，并用此一阶方程作为下一个计算循环的系统方程，
Fk+1=δfδx^′x^k+1=Fk+1x^k+Bk+1u⃗k+1Pk+1=Fk+1PkFk+1T+Qk+1(5)F_{k+1} = \frac{\delta f}{\delta \hat{x}^{'}} \\ \hat{x}_{k+1}=F_{k+1} \hat{x}_{k} +B_{k+1}\vec{u}_{k+1} \\ \space P_{k+1}=F_{k+1}P_{k}F_{k+1}^{T} +Q_{k+1} \tag{5} Fk+1=δx^′δfx^k+1=Fk+1x^k+Bk+1uk+1 Pk+1=Fk+1PkFk+1T+Qk+1(5)

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