NOIP2004P4 火星人题解

（题目描述略）

本题题意为求给定长度为 n 的数列的后第 m 个全排列（字典序）。

对于一个给定的数列 a[0 .. n-1]，求其下一个字典序的全排列算法如下：

从右向左查询最大的下标 i (0 ≤ i ≤ n-1) 使得 a[i] < a[i+1]；
从左向右查询最小的元素 a[j] (i+1 ≤ j ≤ n-1) 使得 a[i] < a[j]；
交换 a[i] 和 a[j]；
逆置翻转 a[i+1 .. n-1]。

算法分析：我们可以发现，第一步求出的 i 下标表示 a[i+1 .. n-1] 是一个长度为 n-i-1 的最后一个全排列，且 a[i .. n-1] 是一个长度为 n-i 的非末全排列。这样，我们可以不改变 a[0 .. i-1]，而对 a[i .. n-1] 求其下一个全排列。

因为以 a[i] 为起始的全排列已经完成，所以其构造方法必然是将 a[i] 换成 a[i+1 .. n-1] 中比 a[i] 大的且最小的数，即为 a[j]。下面我们来比较 a[i] 和 a[j+1] 之间的大小关系。显然，a[i] ≠ a[j+1]。假设 a[i] < a[j+1]，我们有 a[i] < a[j+1] < a[j]，与条件 a[j] 为所有大于 a[i] 的数中最小的数矛盾。故 a[i] > a[j+1]。

由于 a[i+1] > a[i+2] > .. > a[j] > a[j+1] > .. > a[n-1]，且 a[i] < a[j]，a[i] > a[j+1]，故 a[i+1] > a[i+2] > .. > a[j] > a[i] > a[j+1] > .. > a[n-1]。当交换 a[i] 和 a[j] 后，a[i+1 .. n-1] 必然严格降序排列。显然，交换 a[i] 和 a[j] 前 a[i .. n-1] 的下一个排列为交换 a[i] 和 a[j] 后以 a[i] 为起始的第一个排列。于是，将 a[i+1 .. n-1] 逆置翻转，得到原数列的下一个全排列。

特别的，当 i 不存在时，原数列即为以 n 为长度的全排列的末排列。当然，在本题中无此类情况。

代码如下：

#include"iostream"
#include"stdio.h"
using namespace std;
int number[10005];
int main()
{freopen("martian.in","r",stdin);freopen("martian.out","w",stdout);int i,j,m,n,temporary;cin>>n>>m;for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&number[i]);while(m--){for(i=n-2;number[i]>number[i+1];i--);j=i+1;for(int k=i+2;k<n;k++)if((number[i]<number[k])&&(number[j]>number[k]))j=k;temporary=number[i];number[i]=number[j];number[j]=temporary;for(int left=i+1,right=n-1;left<right;left++,right--)temporary=number[left],number[left]=number[right],number[right]=temporary;}for(i=0;i<n;i++)printf("%d ",number[i]);return 0;
}

对于本题，我们还可以调用库函数直接出解。next_permutation 是一个定义在 algorithm 库里的函数，功能是求一个一维整型数组的下一个全排列，原理同上，用法见下。

代码如下：

#include"algorithm"
#include"iostream"
#include"stdio.h"
using namespace std;
int a[10005];
int main()
{freopen("martian.in","r",stdin);freopen("martian.out","w",stdout);int m,n;cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);while(m--)next_permutation(a,a+n);for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);return 0;
}

时间复杂度：O(nm)

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