平面直角坐标系下研究问题是学习函数的基础，求图形变换或坐标，坐标规律探究，动点函数图像的确定及有关量的求值等这些问题题目灵活且综合性强，考查学生独立画图并数形结合思考问题的能力。是近几年的中考的热点题目，很多问题都是在"动"和"变换"上做文章，。

类型1平面直角坐标系中图形的变换

例1.如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB＝2√3，OD＝4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是( )

A．(－√3，1)

B．(－1，√3)

C．(－1，√3)或(1，－√3)

D．(－√3，1)或(1，－√3)

【分析】 根据矩形的性质得到CD＝AB＝2√3，∠DCO＝90°，根据已知条件得到∠DOC＝60°，OC＝2，①当顺时针旋转至△OD′C′时，过C′作C′E⊥OD′于E，②当逆时针旋转至△OD″C″时，如解图，过点C″作C″F⊥OD″于F，解直角三角形即可得到结论．

【解答】 在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝2√3，∠DCO＝90°，OD＝4，

∴∠DOC＝60°，OC＝2.

①当顺时针旋转至△OD′C′时，如解图，∠D′OC′＝∠DOC＝60°，OC′＝OC＝2，

过点C′作CE⊥OD′于E，则OE＝1/2OC′＝1，C′E＝√3/2OC′＝√3，∴C′(1，－√3)．

②当逆时针旋转至△OD″C″时，如解图，∠D″OC″＝∠DOC＝60°，OC″＝OC＝2，过C″作C″F⊥OD″于F，则OF＝1/2OC″＝1，C″F＝√3/2OC′＝√3.

∴C″(－1，√3)．

综上所述，点C对应点的坐标是(1，－√3)，(－1，√3)，故选C.

针对训练

1．(2018•牡丹江中考题)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，﹣1)，B(2，﹣2)，C(4，﹣1)，将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为( )

A．(√2，√6)或(﹣√6，﹣√2)

B．(√6，√2)或(﹣√6，﹣√2)

C．(﹣√2，﹣√6)或(√6，√2)

D．(﹣√2，﹣√6)或(√2，√6)

2．(2018秋•苏州期末)如图，已知P(3，2)，B(﹣2，0)，点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时(即三条线段PM、MN、NB长度之和最小)，点M的坐标为( )

A．(0，1/2) B．(0，2/3)

C．(0，4/3) D．(0，4/5)

3．(2018•泸州模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为(﹣1，0)，(5，0)，(0，2)．若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE＝PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P在移动的过程中，使△PBF成为直角三角形，则点F的坐标是______

类型2 平面直角坐标系中图形的规律探索

例2．(2018•阜新中考题)如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2018的坐标为( )

A．(1，1) B．(0，√2)

C．(﹣√2,0) D．(﹣1，1)

【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．

【解答】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B(1，1)，

连接OB，由勾股定理得：OB＝√2，

由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝√2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，

相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1(0，√2)，B2(﹣1，1)，B3(﹣√2，0)，…，

发现是8次一循环，所以2018÷8＝252…余2，∴点B2018的坐标为(﹣1，1)

故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．

【方法规律】解决规律探索类问题，要运用一般与特殊的思想，从简单的情况入手，"列而不算，规律自现"；解决循环类型的规律探索问题，找出循环组是关键！

针对训练：

4.如图，动点P从(0，3)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2 018次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )

A．(1，4) B．(5，0)

C．(7，4) D．(8，3)

5．(2018秋•桐梓县期中)已知等边△ABC，顶点B(0，0)，C(2，0)，规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2018次变换后，顶点A的坐标是( )

A．(4033，√3) B．(4033，0)

C．(4036，√3) D．(4036，0)

6．(2018春•商河县期末)在平面直角坐标系中有三个点A(1，﹣1)、B(﹣1，﹣1)、C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2018的坐标是( )

A．(0，0) B．(0，2)

C．(2，﹣4) D．(﹣4，2)

类型3 根据几何图形中的动点问题判断函数图象

例3.(2018·潍坊中考题)如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是( )

【分析】 应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．

【解答】 当0≤t＜2时，S＝2t×√3/2×(4－t)＝－√3t²＋4√3t；当2≤t＜4时，S＝1/2×4×√3/2×(4－t)＝－√3t＋4√3；只有选项D的图象符合，故选D.

方法总结：函数图象的判断：(1)根据实际问题判断函数图象时,需遵循以下几点:①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到函数图象中找出对应点; ②找特殊点:即指交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化; ③判断图象趋势; 判断函数的增减性; ④看是否与坐标轴相交:即此时另外一个量为0等.

(2)以几何图形(动点)为背景判断函数图象的题目,一般的解题思路为设时间为t(或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相对应的函数图象,要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.

针对训练

7．(2018·攀枝花中考题)如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )

8．(2018·东营中考题)如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F.设点E到边BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为( )

9．(2018·烟台中考题)如图，矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动．当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t(s)，△APQ的面积为S(cm2)，下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是( )

10．(2018·葫芦岛中考题)如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y＝PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是( )

类型四 已知函数图象计算相关量

例4.(2018•乌鲁木齐中考题)如图①，在矩形ABCD中，E是AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度．如果点P、Q同时开始运动，设运动时间为t，△BPQ的面积为y，已知y与t的函数图象如图②所示，以下结论：①BC＝10；②cos∠ABE＝3/5；③当0≤t≤10时，y＝2/5t2；④当t＝12时，△BPQ是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时，y＝110﹣5t，其中正确的有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据题意，确定10≤t≤14，PQ的运动状态，得到BE、BC、ED问题可解．

【解答】由图象可知，当10≤t≤14时，y值不变，则此时，Q点到C，P从E到D．∴BE＝BC＝10，ED＝4故①正确．∴AE＝6,Rt△ABE中，由勾股定理求得AB＝8，∴cos∠ABE＝AB/BE=4/5；故②错误

当0≤t≤10时，△BPQ的面积,1/2PB·QB·cos∠ABE=2/5 t2,∴③正确；

t＝12时，P在点E右侧2单位，此时BP＞BE＝BC,由勾股定理求得PC＝21√7,∴△BPQ不是等腰三角形．④错误；

当14≤t≤20时，点P由D向C运动，Q在C点，△BPQ的面积为1/2×10×(22-t)=110-5t,则⑤正确故选：B．

【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置变化之间的关联．

针对训练

11．(2018•河南中考题)如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y(cm²)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为( )

A．√5 B．2 C．5/2 D．2√5

12．(2018•本溪中考题)如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )

A．2 B．9/5 C．6/5 D．1

13．(2018•长丰县一模)如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2m/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm²)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，下列结论中，错误的是( )

A．α＝1 B．sinB＝1/3

C．△APQ面积的最大值为2

D．图2中图象C2段的函数表达式为y＝﹣1/3x²+5/3x

针对训练参考答案

1.C

【解析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．故选：C．

2.A

【解析】将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，可得PM、MN、NB长度之和最小，再根据待定系数法求得AP的解析式，即可得到点M的坐标．故选：A．

3. (5，2)，(√5/2 +7/2，√5 -1)．

【解析】当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF＝90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：

①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，BP＝6﹣t，DP＝2OC＝4，在Rt△OCP中，OP＝t﹣1，由勾股定理易求得CP＝t²﹣2t+5，那么PF2＝(2CP)²＝4(t²﹣2t+5)；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB＝PF²÷PD＝t²﹣2t+5，而PB的另一个表达式为：PB＝6﹣t，联立两式可得t2﹣2t+5＝6﹣t，即t＝√5/2+1/2；

②B为直角顶点，那么此时的情况与(2)题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP＝2OC＝4，即OP＝OB﹣BP＝1，此时t＝2．

故答案是：(5，2)，(√5/2 +7/2，√5-1)．

4．C

【解析】 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2018除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．

如解图，经过6次反弹后动点回到出发点(0，3)，∵2 018÷6＝336……2，∴当点P第2 018次碰到矩形的边时为第337个循环组的第2次反弹，点P的坐标为(7，4)．故选C.

5.D

【解析】利用已知点坐标得出等边△ABC边长为2，根据三角函数可得等边△ABC的高，顶点A的坐标分别为(4，0)，(4，0)，(7，√3)，(10，0)，(10，0)，(13，√3)，…，进而得出点的坐标变化规律,2018÷3＝672…2，672×6+4＝4036，故顶点A的坐标是(4036，0)．故选：D．

6.D

【解析】设P1(x，y)，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点P2018的坐标．

可求P1(2，﹣4)．同理可得，P2(﹣4，2)，P3(4，0)，P4(﹣2，﹣2)，P5(0，0)，P6(0，2)，P7(2，﹣4)，…，

∴每6个操作循环一次．∵2018＝6×336+2，∴点P2018的坐标与P2(﹣4，2)相同．故选：D．

7．C　【解析】如解图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠OAB＝90°，∵∠DCA＋∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠OAB.又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴△CDA∽△AOB，∴OB/DA=OA/DC=AB/AC＝tan 30°，则x/y-1＝√3/3，故y＝√3x＋1(x＞0)，则选项C符合题意．故选C.

8．D　【解析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：EF/12＝6-x/6，即EF＝2(6－x)，所以y＝1/2×2(6－x)x＝－x²＋6x(0＜x＜6)，该函数图象是抛物线的一部分，故选D.

9．A　【解析】由题意，得AP＝t，AQ＝2t.①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如解图①，

S△APQ＝1/2AP·AQ＝1/2·t·2t＝t²，故选项C、D不正确；②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如解图②，S△APQ＝1/2AP·AB＝1/2t·8＝4t，故选项B不正确；故选A.

10．B

【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴由勾股定理求得AC＝8，当0≤x≤6时，AP＝6－x，AQ＝x，∴y＝PQ²＝AP²＋AQ²＝2x²－12x＋36；当6≤x≤8时，AP＝x－6，AQ＝x，∴y＝PQ²＝(AQ－AP) ²＝36；当8≤x≤14时，CP＝14－x，CQ＝x－8，∴y＝PQ²＝CP²＋CQ²＝2x²－44x＋260，故选B.

11.C

【解析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD＝√5，应用两次勾股定理分别求BE和a．故选：C．

12.B

【解析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，设：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，conα＝AD/BE=a/3，在Rt△BCE中，sinα＝BC/BE＝a/4，由(sinα)²+(conα)²＝1，解得：a＝12/5，当x＝6时，即：EN＝3，则y＝MN＝ENsinα＝6/5．故选：B．

13.C

【解析】根据图象确定点Q的速度，AB长，再由锐角三角函数用∠B的正弦值和x表示y将(4，4/3)代入问题可解．

当点P在AC上运动时，y＝1/2AP·AQ·sin∠A=1/2×2x·ax·1/2=1/2 ax ²

当x＝1，y＝1/2时，a＝1

由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10

当P在BC上时y＝1/2x·(10-x)AQ·sin∠E，

当x＝4，y＝4/3时，代入解得sin∠B＝1/3

∴y＝1/2x·(10-x)1/3=-1/3x²+5/3x,

当x＝﹣b/2a=5/2时，y最大＝25/12,故选：C．

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