二叉树 Binary Tree

我怀着激动的心走上了这颗树

今天是2021年11月12日

今天开始上树！！！！！！

生活中的树形结构：

树：

根节点：

一棵树有且只有一个根节点就是最上面的节点

兄弟节点：

每一行的节点它们具有相同的父节点那么就被称之为兄弟节点

子树的概念：

注意：红色部分就是我们所说的子树

什么是左子树和右子树呢？

举个例子：5的左子树就是51 右子树就是52

再比如说 2的左子树为21 右子树为22包含的红色区域的那一颗

比如说2的度就是2 因为它的子树个数为2

根节点1的度为5 因为它的子树个数为5

树的度：

比如说：上面的树的度为5

因为所有节点当中根节点的度为最大值为5

叶子节点：

节点的深度：

举个例子：节点2的深度就是2

因为从2到根节点的唯一路径就是2

根节点算一个节点自身算一个加起来路径就是2

节点的高度：

举个例子：

假如说计算节点2的高度

何为高度?

当前节点到最远叶子节点的路径上的节点个数

首先我们应该知道什么是叶子节点？

度为0的节点

何为度？

就是任意一个节点子树的个数

那么可知：节点2的高度即为节点2到221 或222 或223其中任意一个节点

那么可得出高度为3 ！！！！

包括自身节点在内一共遍历三个节点

了解一下：

重点来了：

二叉树 Binary Tree

每一个二叉树的度最大为2 表示最多有2颗子树

左右子树是有顺序的左右是有严格区分的是有序树

要细分出左右子树

只有右子树

我们该如何推导公式：n0=n2+1

对于一个二叉树来说：

度只可能是 0 1 2

那么我们上面设出叶子节点(即是度为0的点)为n0

度为2的点节点个数为n2

度为3的设为n3 那么总的节点个数为n=n0+n1+n2

这个清楚之后：

我们来观察边的关系：

当度数为2时证明它只有两个子树那么它的边就有两个边

度为1时只有一个子树那么度为1的节点有一个边

由于叶子节点度为0 即是没有子节点那么没有边

那么边数公式即为：T=n1+2*n2

我们知道一个常理：除了根节点之外的所有节点的上面都有一条边

如图红色圈出即是

那么我们又可以得出T=n-1 n为总的节点个数

n=n0+n1+n2

那么合并上述两个得：

n1+2*n2=n-1=n0+n1+n2-1

那么就可以推出n2=n0+1

真二叉树：

1.度不可以为1的二叉树

2.度要么为2 要么为0

因为节点15和节点13都是度为1的节点

满二叉树是真二叉树的升级版

它们都是满足同一个度的限制

但是满二叉树必须所有的叶子节点都在最后一层

总结：

当高度为h的时候二叉树节点最多为n

高度那个公式是用两边同时取对数即可

完全二叉树：

节点从上到下从左到右依次排布那么这就是完全二叉树

当最后一行排满的时候就是满二叉树

并且记住：

完全二叉树的叶子节点只会出现在最后2层

完全二叉树的性质：

对左右取对数得第二个公式

完全二叉树至少有2的h-1次方个节点

如何确定h与n的关系：

h=log2n向下取整+1

何为向下取整？

假如说log2n结果是4.2 那么向下取整的结果为4

记住：

h为任意节点所在的高度

我们在计算机中进行

一般int n;就表示只取整数部分那就相当于向下取整

那么我们也可以把log2n的小数结果强制转换成int类型

那么就相当于向下取整

总结：

何为高度？

从任意节点到最远叶子节点的路径

路径即是节点个数

何为叶子节点？

度为0的点

何为度？

任意节点的子树的个数

性质二：

假如是从1开始编号

从0开始编号：

一道例题：

先根据度的大小由低到高来设出各节点的个数：

n0 n1 n2

n=n0+n1+n2 并且n0=n2+1

那么n=2*n0+n1-1

我们知道完全二叉树叶子节点只出现在最后两层

并且它有向左靠的子树排放规律

故推出度为1的节点数要么为0要么为1

那么当n1=0时 n为奇数 n0=(n+1)/2

当n1=1 时 n为偶数 n0=n/2

也就是说

当n为偶数时我们可知多加了一个1/2

那么我们应当floor((n+1)/2) 向下取整

但是编程时我们默认了是向下取整

那么对于求叶子节点个数时：

直接n0=(n+1)>>1

这个结论是：

对于完全二叉树而言

但是编程的过程中：我们默认是向下取整

因此我们最好是使用floor那一个公式

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