二维码的纠错码原理及如何纠错(2)

下面进一步介绍二维码纠错相关的编码矩阵

1 范德蒙德（Vandermonde）矩阵

1.1 定义及特性

法国数学家 Alexandre-Théophile Vandermonde 在十八世纪提出了行列式的概念, 用来解决线性方程组问题, 其中一个关键是范德蒙德(Vandermonde) 矩阵, Vandermonde 矩阵具有如下的形式:
An=[111…1x11x21x31…xn1x12x22x32…xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x3n−1…xnn−1](1)\mathrm{A_n} = \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 &x_3^1 & \dots &x_n^1 \\ x_1^2 & x_2^2 &x_3^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &x_3^{n-1} & \dots &x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right] \tag1 An=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1x11x12⋮x1n−11x21x22⋮x2n−11x31x32⋮x3n−1………⋱…1xn1xn2⋮xnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤(1)
它的任意的子方阵均为可逆方阵。一个nnn行nnn列的范德蒙德矩阵定义如下，其中xix_ixi 均不相同，且不为0。Vandermonde 矩阵有一个很重要的特性:
∣An∣=∣AnT∣=∏1≤i≤j≤n(xj−xi)(2)|\mathrm{A_n}| = |\mathrm{A_n^T}| = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n}(x_j - x_i) \tag2∣An∣=∣AnT∣=1≤i≤j≤n∏(xj−xi)(2)
例子1：
如下范德蒙矩阵
An=[111235223252]\mathrm{A_n} = \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 \\ 2 & 3 &5 \\ 2^2 & 3^2 &5^2 \\ \end{matrix} \right] An=⎣⎡122213321552⎦⎤
那么它的行列式为∣An∣=(3−2)∗(5−2)∗(5−3)=6\left|A_n\right|=(3-2)*(5-2)*(5-3)=6∣An∣=(3−2)∗(5−2)∗(5−3)=6.
例子2：
如下范德蒙矩阵
An=[111123572232527223335373]\mathrm{A_n} = \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &1\\ 2 & 3 &5 &7\\ 2^2 & 3^2 &5^2 &7^2\\ 2^3 & 3^3 &5^3 &7^3\\ \end{matrix} \right] An=⎣⎢⎢⎡122223133233155253177273⎦⎥⎥⎤
那么它的行列式为∣An∣=(3−2)∗(5−2)∗(7−2)∗(5−3)∗(7−3)∗(7−5)=240\left|A_n\right|=(3-2)*(5-2)*(7-2)*(5-3)*(7-3)*(7-5)=240∣An∣=(3−2)∗(5−2)∗(7−2)∗(5−3)∗(7−3)∗(7−5)=240.
这个特性可以用数学归纳法证明出来。
【证明】
若DnD_nDn为nnn阶Vandermonde行列式(n≥2n \geq 2n≥2)，则有
Dn=∏1≤i≤j≤n(xj−xi)=(xn−xn−1)(xn−xn−2)…(xn−x1)(xn−1−xn−2)(xn−1−xn−3)…(xn−1−x1)…(x3−x2)(x3−x1)(x2−x1).D_n = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n}(x_j - x_i) = (x_n - x_{n-1})(x_n - x_{n-2})\dots(x_n - x_1)(x_{n-1} - x_{n-2}) \\ (x_{n-1} - x_{n-3})\dots(x_{n-1} - x_1)\dots(x_3 - x_2)(x_3 - x_1)(x_2 - x_1). Dn=1≤i≤j≤n∏(xj−xi)=(xn−xn−1)(xn−xn−2)…(xn−x1)(xn−1−xn−2)(xn−1−xn−3)…(xn−1−x1)…(x3−x2)(x3−x1)(x2−x1).
(1) 当n=2n = 2n=2时， D2=∣11x1x2∣=(x2−x1)D_2 = \left|\begin{matrix}1 &1 \\ x_1 &x_2\end{matrix}\right| = (x_2 - x_1)D2=∣∣∣∣1x11x2∣∣∣∣=(x2−x1)，结论成立；
(2) 假设结论对n−1n - 1n−1阶范德蒙德行列式成立，即
Dn−1=∣11…1x21x31…xn1x22x32…xn2⋮⋮⋱⋮x2n−2x3n−2…xnn−2∣=∏2≤i≤j≤n(xj−xi)D_{n-1} = \left| \begin{matrix} 1 & 1 &\dots & 1 \\ x_2^1 &x_3^1 & \dots &x_n^1 \\ x_2^2 &x_3^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_2^{n-2} &x_3^{n-2} & \dots &x_n^{n-2} \\ \end{matrix} \right| = \prod_{2 \leq i \leq j \leq n}(x_j - x_i) Dn−1=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x21x22⋮x2n−21x31x32⋮x3n−2………⋱…1xn1xn2⋮xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=2≤i≤j≤n∏(xj−xi)
考虑nnn阶范德蒙行列式的情形:
Dn=∣111…1x11x21x31…xn1x12x22x32…xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x3n−1…xnn−1∣D_{n} = \left| \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 &x_3^1 & \dots &x_n^1 \\ x_1^2 & x_2^2 &x_3^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &x_3^{n-1} & \dots &x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right| Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x11x12⋮x1n−11x21x22⋮x2n−11x31x32⋮x3n−1………⋱…1xn1xn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
从第nnn行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的x1x_1x1倍，有：
Dn=∣111…10x2−x1x3−x1…xn−x10x22−x2x1x32−x3x1…xn2−xnx1⋮⋮⋮⋱⋮0x2n−1−x2n−2x1x3n−1−x3n−2x1…xnn−1−xnn−2x1∣=∣111…10x2−x1x3−x1…xn−x10x2(x2−x1)x3(x3−x1)…xn(xn−x1)⋮⋮⋮⋱⋮0x2n−2(x2−x1)x3n−2(x3−x1)…xnn−2(xn−x1)∣D_{n} = \left| \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ 0 & x_2- x_1 &x_3 - x_1 & \dots &x_n-x_1 \\ 0 & x_2^2-x_2x_1 &x_3^2-x_3x_1 & \dots &x_n^2-x_nx_1 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ 0 & x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1 &x_3^{n-1}-x_3^{n-2}x_1 & \dots &x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1 \\ \end{matrix} \right|\\ =\left| \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ 0 & x_2- x_1 &x_3 - x_1 & \dots &x_n-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) &x_3(x_3-x_1) & \dots &x_n(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) &x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \dots &x_n^{n-2}(x_n-x_1) \\ \end{matrix} \right| Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮01x2−x1x22−x2x1⋮x2n−1−x2n−2x11x3−x1x32−x3x1⋮x3n−1−x3n−2x1………⋱…1xn−x1xn2−xnx1⋮xnn−1−xnn−2x1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮01x2−x1x2(x2−x1)⋮x2n−2(x2−x1)1x3−x1x3(x3−x1)⋮x3n−2(x3−x1)………⋱…1xn−x1xn(xn−x1)⋮xnn−2(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
按第一列展开后提取公因式，得
Dn=(x2−x1)(x3−x1)…(xn−x1)∣11…1x2x3…xn⋮⋮⋱⋮x2n−2x3n−2…xnn−2∣=(x2−x1)(x3−x1)…(xn−x1)∏2≤i≤j≤n(xj−xi)=∏1≤i≤j≤n(xj−xi)D_{n} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\dots(x_n - x_1) \left| \begin{matrix} 1 &1 &\dots & 1 \\ x_2 & x_3 & \dots &x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \dots &x_n^{n-2} \\ \end{matrix} \right| \\ = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\dots(x_n - x_1)\prod_{2 \leq i \leq j \leq n}(x_j - x_i) =\prod_{1 \leq i \leq j \leq n}(x_j - x_i) Dn=(x2−x1)(x3−x1)…(xn−x1)∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x2⋮x2n−21x3⋮x3n−2……⋱…1xn⋮xnn−2∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(x2−x1)(x3−x1)…(xn−x1)2≤i≤j≤n∏(xj−xi)=1≤i≤j≤n∏(xj−xi)
得证。

1.2 Vandermonde矩阵的理解

在差值(interpolation)问题中, 假设在二维空间有 nnn 个点 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_n,y_n)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn), 希望得到一个多项式解:
p(x)=dnxn−1+dn−1xn−2+⋯+d2x+d1(3)p(x) = d_{n}x^{n-1} + d_{n-1}x^{n-2} + \dots + d_2x+ d_1 \tag3p(x)=dnxn−1+dn−1xn−2+⋯+d2x+d1(3)
这个多项式可以满足我们的当前条件：
p(x1)=y1=dnx1n−1+dn−1x1n−2+⋯+d2x1+d1p(x2)=y2=dnx2n−1+dn−1x2n−2+⋯+d2x2+d1…p(xn)=yn=dnxnn−1+dn−1xnn−2+⋯+d2xn+d1p(x_1) = y_1 = d_{n}x_1^{n-1} + d_{n-1}x_1^{n-2} + \dots + d_2x_1 + d_1 \\ p(x_2) = y_2 = d_{n}x_2^{n-1} + d_{n-1}x_2^{n-2} + \dots + d_2x_2 + d_1 \\ \dots \\ p(x_n) = y_n = d_{n}x_n^{n-1} + d_{n-1}x_n^{n-2} + \dots + d_2x_n + d_1 p(x1)=y1=dnx1n−1+dn−1x1n−2+⋯+d2x1+d1p(x2)=y2=dnx2n−1+dn−1x2n−2+⋯+d2x2+d1…p(xn)=yn=dnxnn−1+dn−1xnn−2+⋯+d2xn+d1
实际上, 可以推演如下:
y=[y1y2⋮yn]=[d1+d2x1+d3x12⋯+dnx1n−1d1+d2x2+d3x22⋯+dnx2n−1⋮d1+d2xn+d3xn2⋯+dnxnn−1]=[111…1x11x21x21…xn1x12x22x22…xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x2n−1…xnn−1]T∗[1d2⋮dn]=AT∗[y1y2⋮yn](4)y = \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} d_1 + d_2x_1 + d_3x_1^2 \dots + d_nx_1^{n - 1} \\ d_1 + d_2x_2 + d_3x_2^2 \dots + d_nx_2^{n - 1} \\ \vdots \\ d_1 + d_2x_n + d_3x_n^2 \dots + d_nx_n^{n - 1} \\ \end{matrix} \right] \\ = \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 &x_2^1 & \dots &x_n^1 \\ x_1^2 & x_2^2 &x_2^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &x_2^{n-1} & \dots &x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right]^\mathrm{T} * \left[ \begin{matrix} _1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{matrix} \right] = \mathrm{A^\mathrm{T} } * \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right] \tag4 y=⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡d1+d2x1+d3x12⋯+dnx1n−1d1+d2x2+d3x22⋯+dnx2n−1⋮d1+d2xn+d3xn2⋯+dnxnn−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1x11x12⋮x1n−11x21x22⋮x2n−11x21x22⋮x2n−1………⋱…1xn1xn2⋮xnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤T∗⎣⎢⎢⎢⎡1d2⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤=AT∗⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤(4)
还可以表示如下：
[d1d2⋮dn]=(AT)−1y(5)\left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{matrix} \right] = (\mathrm{A^T})^{-1} y \tag5 ⎣⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤=(AT)−1y(5)
令x1=1,x2=2,x3=3,…,xn=nx_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, \dots, x_n = nx1=1,x2=2,x3=3,…,xn=n，则有：
A=[111…1123…n122232…n2⋮⋮⋮⋱⋮1n−12n−13n−1…nn−1](6)\mathrm{A} = \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ 1 & 2 &3 & \dots &n \\ 1^2 & 2^2 &3^2 & \dots &n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ 1^{n-1} & 2^{n-1} &3^{n-1} & \dots &n^{n-1} \\ \end{matrix} \right] \tag6 A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1112⋮1n−11222⋮2n−11332⋮3n−1………⋱…1nn2⋮nn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤(6)

1.3 Vandermonde矩阵在最小二乘拟合中的应用

假设对nnn个采样点进行拟合，那么方差可以表示为：

R2=∑i=1n[yi−(d1+d2xi+d3xi2⋯+dnxin−1)]2R^2 = \sum_{i=1}^{n}[y_i - (d_1 + d_2x_i + d_3x_i^2 \dots + d_nx_i^{n - 1})]^2R2=i=1∑n[yi−(d1+d2xi+d3xi2⋯+dnxin−1)]2

为求得方差的最小值，对d1,…,dnd_1, \dots, d_nd1,…,dn求偏导：
∂(R2)∂(d1)=−2∑i=1n[y−(d1+d2x+d3x2⋯+dnxn−1)]=0∂(R2)∂(d2)=−2∑i=1n[y−(d1+d2x+d3x2⋯+dnxn−1)]x=0…∂(R2)∂(dn)=−2∑i=1n[y−(d1+d2x+d3x2⋯+dnxn−1)]xn−1=0\frac{\partial(R^2)}{\partial(d_1)} = -2\sum_{i=1}^{n}[y - (d_1 + d_2x + d_3x^2 \dots + d_nx^{n - 1})] = 0\\ \frac{\partial(R^2)}{\partial(d_2)} = -2\sum_{i=1}^{n}[y - (d_1 + d_2x + d_3x^2 \dots + d_nx^{n - 1})]x = 0 \\ \dots \\ \frac{\partial(R^2)}{\partial(d_n)} = -2\sum_{i=1}^{n}[y - (d_1 + d_2x + d_3x^2 \dots + d_nx^{n - 1})]x^{n-1} = 0 \\ ∂(d1)∂(R2)=−2i=1∑n[y−(d1+d2x+d3x2⋯+dnxn−1)]=0∂(d2)∂(R2)=−2i=1∑n[y−(d1+d2x+d3x2⋯+dnxn−1)]x=0…∂(dn)∂(R2)=−2i=1∑n[y−(d1+d2x+d3x2⋯+dnxn−1)]xn−1=0
移项：
d1n+d2∑i=1nxi+d3∑i=1nxi2+⋯+dn∑i=1nxin−1)]=∑i=1nyid1∑i=1nxi+d2∑i=1nxi2+d3∑i=1nxi3+⋯+dn∑i=1nxin)]=∑i=1nxiyi…d1∑i=1nxin−1+d2∑i=1nxin+d3∑i=1nxin+1+⋯+dn∑i=1nxi2n−2=∑i=1nxin−1yid_1n + d_2\sum_{i=1}^{n}x_i + d_3\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + \dots + d_n\sum_{i=1}^{n}x_i^{n - 1})] = \sum_{i=1}^{n}y_i \\ d_1\sum_{i=1}^{n}x_i + d_2\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + d_3\sum_{i=1}^{n}x_i^3 + \dots + d_n\sum_{i=1}^{n}x_i^{n})] = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i \\ \dots \\ d_1\sum_{i=1}^{n}x_i^{n-1} + d_2\sum_{i=1}^{n}x_i^{n} + d_3\sum_{i=1}^{n}x_i^{n+1} + \dots + d_n\sum_{i=1}^{n}x_i^{2n-2} = \sum_{i=1}^{n}x_i^{n-1}y_i \\ d1n+d2i=1∑nxi+d3i=1∑nxi2+⋯+dni=1∑nxin−1)]=i=1∑nyid1i=1∑nxi+d2i=1∑nxi2+d3i=1∑nxi3+⋯+dni=1∑nxin)]=i=1∑nxiyi…d1i=1∑nxin−1+d2i=1∑nxin+d3i=1∑nxin+1+⋯+dni=1∑nxi2n−2=i=1∑nxin−1yi
用矩阵表示如下
[n∑i=1nxi∑i=1nxi2…∑i=1nxin−1∑i=1nxi∑i=1nxi2∑i=1nxi3…∑i=1nxin⋮⋮⋮⋱⋮∑i=1nxin−1∑i=1nxin∑i=1nxin+1…∑i=1nxi2n−2]∗[d1d2⋮dn]=[111…1x11x21x21…xn1x12x22x22…xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x2n−1…xnn−1]∗[y1y2⋮yn]\left[ \begin{matrix} n &\sum_{i=1}^{n}x_i & \sum_{i=1}^{n}x_i^2 &\dots & \sum_{i=1}^{n}x_i^{n-1} \\ \sum_{i=1}^{n}x_i & \sum_{i=1}^{n}x_i^2 & \sum_{i=1}^{n}x_i^3 & \dots & \sum_{i=1}^{n}x_i^{n} \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ \sum_{i=1}^{n}x_i^{n-1} & \sum_{i=1}^{n}x_i^n & \sum_{i=1}^{n}x_i^{n+1} & \dots & \sum_{i=1}^{n}x_i^{2n-2} \\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{matrix} \right] = \\ \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 &x_2^1 & \dots &x_n^1 \\ x_1^2 & x_2^2 &x_2^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &x_2^{n-1} & \dots &x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡n∑i=1nxi⋮∑i=1nxin−1∑i=1nxi∑i=1nxi2⋮∑i=1nxin∑i=1nxi2∑i=1nxi3⋮∑i=1nxin+1……⋱…∑i=1nxin−1∑i=1nxin⋮∑i=1nxi2n−2⎦⎥⎥⎥⎤∗⎣⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1x11x12⋮x1n−11x21x22⋮x2n−11x21x22⋮x2n−1………⋱…1xn1xn2⋮xnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤∗⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤
对其进行变形，得到：
[111…1x11x21x21…xn1x12x22x22…xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x2n−1…xnn−1][111…1x11x21x21…xn1x12x22x22…xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x2n−1…xnn−1]T[d1d2⋮dn]=[111…1x11x21x21…xn1x12x22x22…xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x2n−1…xnn−1][y1y2⋮yn]\left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 &x_2^1 & \dots &x_n^1 \\ x_1^2 & x_2^2 &x_2^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &x_2^{n-1} & \dots &x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 &x_2^1 & \dots &x_n^1 \\ x_1^2 & x_2^2 &x_2^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &x_2^{n-1} & \dots &x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right]^{\mathrm{T}} \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{matrix} \right]=\\ \left[ \begin{matrix} 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 &x_2^1 & \dots &x_n^1 \\ x_1^2 & x_2^2 &x_2^2 & \dots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} &x_2^{n-1} & \dots &x_n^{n-1} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1x11x12⋮x1n−11x21x22⋮x2n−11x21x22⋮x2n−1………⋱…1xn1xn2⋮xnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1x11x12⋮x1n−11x21x22⋮x2n−11x21x22⋮x2n−1………⋱…1xn1xn2⋮xnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤T⎣⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1x11x12⋮x1n−11x21x22⋮x2n−11x21x22⋮x2n−1………⋱…1xn1xn2⋮xnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤
上面的公式可以简写为：
AATd=Ay\mathrm{A}\mathrm{A}^\mathrm{T}d = \mathrm{A}yAATd=Ay
A\mathrm{A}A为竖着的范德蒙矩阵。此处向量ddd等于：
d=(AAT)−1Ayd = (\mathrm{A}\mathrm{A}^\mathrm{T})^{-1} \mathrm{A}yd=(AAT)−1Ay

1.4 基于Vandermonde的编码

编码矩阵就是单位矩阵和范德蒙德矩阵的组合。输入数据（D）和编码矩阵的乘积就是编码后的数据。
[100…0010…0⋮⋮⋮⋱⋮000…1111…1123…n122232…n2⋮⋮⋮⋱⋮1n−12n−13n−1…nn−1][d1d2⋮dn]=[d1d2⋮dnc1c2⋮cm](7)\left[ \begin{matrix} 1 &0 & 0 &\dots & 0 \\ 0 &1 & 0 &\dots & 0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ 0 &0 & 0 &\dots & 1 \\ 1 &1 & 1 &\dots & 1 \\ 1 & 2 &3 & \dots &n \\ 1^2 & 2^2 &3^2 & \dots &n^2 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ 1^{n-1} & 2^{n-1} &3^{n-1} & \dots &n^{n-1} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \\ c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_m \\ \end{matrix} \right] \tag7 ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡10⋮01112⋮1n−101⋮01222⋮2n−100⋮01332⋮3n−1……⋱…………⋱…00⋮11nn2⋮nn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dnc1c2⋮cm⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤(7)
算法复杂度：采用这种方法的算法复杂度还是比较高的，编码复杂度为O(mn)O(mn)O(mn)，其中mmm为校验数据个数，nnn为输入数据个数。解码复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)。

2 柯西（ Cauchy）矩阵

柯西矩阵的任意一个子方阵都是奇异矩阵，存在逆矩阵。而且柯西矩阵在迦罗华域上的求逆运算，可以在O(n2)O(n^2)O(n2)的运算复杂度内完成。
使用柯西矩阵，比范德蒙德矩阵的优化主要有两点：

降低了矩阵求逆的运算复杂度。范德蒙矩阵求逆运算的复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)，而柯西矩阵求逆运算的复杂度仅为O(n2)O(n^2)O(n2)。
通过有限域转换，将GF(2w2^w2w)域中的元素转换成二进制矩阵，将乘法转换为逻辑与，降低了乘法运算复杂度。（二进制的加法即XOR，乘法即AND）

2.1 柯西（ Cauchy）矩阵介绍

柯西矩阵的描述如下：
[1x0+y01x0+y11x0+y2…1x0+yn1x1+y01x1+y11x1+y2…1x1+yn1x2+y01x2+y11x2+y2…1x2+yn⋮⋮⋮⋱⋮1xm+y01xm+y11xm+y2…1xm+yn](8)\left[ \begin{matrix} \frac{1}{x_0 + y_0} &\frac{1}{x_0 + y_1} & \frac{1}{x_0 + y_2} &\dots & \frac{1}{x_0 + y_n} \\ \frac{1}{x_1 + y_0} &\frac{1}{x_1 + y_1} & \frac{1}{x_1 + y_2} &\dots & \frac{1}{x_1 + y_n} \\ \frac{1}{x_2 + y_0} &\frac{1}{x_2 + y_1} & \frac{1}{x_2 + y_2} &\dots & \frac{1}{x_2 + y_n} \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{1}{x_m + y_0} &\frac{1}{x_m + y_1} & \frac{1}{x_m + y_2} &\dots & \frac{1}{x_m + y_n} \\ \end{matrix} \right] \tag8 ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x0+y01x1+y01x2+y01⋮xm+y01x0+y11x1+y11x2+y11⋮xm+y11x0+y21x1+y21x2+y21⋮xm+y21………⋱…x0+yn1x1+yn1x2+yn1⋮xm+yn1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤(8)
xix_ixi 和yiy_iyi 都是迦罗华域GF(2w2^w2w）中的元素。
基于柯西矩阵的编码矩阵为：
[100…0010…0⋮⋮⋮⋱⋮000…11x0+y01x0+y11x0+y2…1x0+yn1x1+y01x1+y11x1+y2…1x1+yn1x2+y01x2+y11x2+y2…1x2+yn⋮⋮⋮⋱⋮1xm+y01xm+y11xm+y2…1xm+yn][d1d2⋮dn]=[d1d2⋮dnc1c2⋮cm](9)\left[ \begin{matrix} 1 &0 & 0 &\dots & 0 \\ 0 &1 & 0 &\dots & 0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ 0 &0 & 0 &\dots & 1 \\ \frac{1}{x_0 + y_0} &\frac{1}{x_0 + y_1} & \frac{1}{x_0 + y_2} &\dots & \frac{1}{x_0 + y_n} \\ \frac{1}{x_1 + y_0} &\frac{1}{x_1 + y_1} & \frac{1}{x_1 + y_2} &\dots & \frac{1}{x_1 + y_n} \\ \frac{1}{x_2 + y_0} &\frac{1}{x_2 + y_1} & \frac{1}{x_2 + y_2} &\dots & \frac{1}{x_2 + y_n} \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{1}{x_m + y_0} &\frac{1}{x_m + y_1} & \frac{1}{x_m + y_2} &\dots & \frac{1}{x_m + y_n} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \\ c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_m \\ \end{matrix} \right] \tag9 ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡10⋮0x0+y01x1+y01x2+y01⋮xm+y0101⋮0x0+y11x1+y11x2+y11⋮xm+y1100⋮0x0+y21x1+y21x2+y21⋮xm+y21……⋱…………⋱…00⋮1x0+yn1x1+yn1x2+yn1⋮xm+yn1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dnc1c2⋮cm⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤(9)

2.2 柯西编解码过程优化

在范德蒙编码的时候，我们可以采用对数/反对数表的方法，将乘法运算转换成了加法运算，并且在迦罗华域中，加法运算转换成了XOR运算。
柯西编解码为了降低乘法复杂度，采用了有限域上的元素都可以使用二进制矩阵表示的原理，将乘法运算转换成了迦罗华域“AND运算”和“XOR逻辑运算”，提高了编解码效率。
从数学的角度来看，在迦罗华有限域中，任何一个GF(2w2^w2w)域上的元素都可以映射到GF(2)二进制域，并且采用一个二进制矩阵的方式表示GF(2w2^w2w)中的元素。
例如，GF(232^323)域中的元素可以表示成GF(2)域中的二进制矩阵：

上图中，黑色方块表示逻辑1，白色方块表示逻辑0。通过这种转换，GF(2w2^w2w)域中的阵列就可以转换成GF(2)域中的二进制阵列。生成矩阵的阵列转换表示如下：

在GF(2w2^w2w)域中的编码矩阵为k∗(k+m)k *(k+m)k∗(k+m)，转换到GF(2)域中，使用二进制矩阵表示，编码矩阵变成了(w∗k)∗(w∗(k+m))(w*k)* (w*(k+m))(w∗k)∗(w∗(k+m))二进制矩阵。

采用域转换的目的是简化GF(2w2^w2w)域中的乘法运算。在GF(2)域中，乘法运算变成了逻辑与运算，加法运算变成了XOR运算，可以大大降低运算复杂度。
和范德蒙编解码中提到的对数/反对数方法相比，这种方法不需要构建对数/反对数表，可以支持www为很大的GF域空间。采用这种有限域转换的方法之后，柯西编码运算可以表示如下：

算法复杂度：使用柯西矩阵要优于范德蒙德矩阵的方法，柯西矩阵的运算复杂度为O(n∗(n−m))O(n *(n - m))O(n∗(n−m))，解码复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)。

2.3 参数www影响

选择GF(2w2^w2w)中的www参数，需要满足k+n≤2wk+n \leq 2^wk+n≤2w。
对于柯西矩阵的RS编码，还需要满足coding Block size % (www * packet) == 0。（具体参数设置和意义见 Jerasure实现，jerasure开源实现。）
关于Erasure Code，有一个开源的实现Jerasure，是由James S. Plank教授开发。还有一个开源项目FECpp，也是关于EC code的。地址为：FECpp 开源实现。

3 RS编码升级

RS编码后的数据，如果丢失了一块，恢复丢失的数据需要最少读取n块数据。在生产环境中，硬盘故障经常发生，恢复数据对网络IO和CPU都会有较大的消耗。
因此有些公司在EC编码的基础上做了一些改进，使用LRC或SEC替换RS编码。

3.1 LRC - Locally Repairable Code 本地副本存储

LRC编码与RS编码方式基本相同，同时增加了额外的数据块副本。
LRC编码本质上是RS编码+2副本备份。
LRC编码步骤如下：

对原始数据使用RS编码，例如编码为4：2，编码结果为4个数据块：D1、D2、D3、D4，2个编码块C1、C2；
原始数据做2副本，将4个数据块的前2个数据块和后2个数据块，分别生成2个编码块，即R1=D1D2，R2=D3D4；
如果某一个数据块丢失，例如D2丢失，则只需要R1和D1即可恢复D2；

LRC的编码矩阵中增加了步骤2的2副本编码，样子如下：

LRC增加了副本数量，使用了更多的存储空间，来减少恢复数据块时读取块的数量，节省恢复数据使用的网络IO和CPU。

3.2 SEC - Sparse Erasure Code 稀疏纠删码

LRC编码中只对数据块做了2副本，当编码块丢失时，仍然需要读取n块数据来重新计算编码块。
SEC编码中对数据块和编码块都做增加了校验块。
SEC编码本质上是RS编码+奇偶校验块。
SEC编码步骤如下：

对原始数据使用RS编码，例如编码为4：2，编码结果为4个数据块：D1、D2、D3、D4，2个编码块C1、C2；
生成D1D2的校验块X1，D3D4的校验块X2，C1C2的校验块X3；
当数据块或编码块中的某一个丢失时，例如C2丢失，通过C1和校验块X3即可恢复C2；

SEC同样通过增加存储块，减少了恢复数据是的网络和CPU开销。

4 FEC 介绍

在信息中按照某种规则加上一定的冗余位，构成一个码字，称为差错控制编码过程。
在接收端接收到码字，或从存储设备中读取码字后，查看信息位和冗余位，并检查他们之间的关系是否正确，以确定是否有差错发生，称为校验。
Forward Error Correction，FEC- 前向纠错编码技术通过在传输码列中加入冗余纠错码，在一定条件下，通过解码可以自动纠正传输误码。这种编码的译码设备较复杂。

除FEC之外，还有两种差错控制编码：Automatic repeat request（ARQ）检错重发（或自动请求重传），Hybrid Error Correction（HEC）混合纠错。

检错重发由发送端送出能够发现错误的码，接收端如果发现错误，通过反向信道把这一判决结果反馈给发送端。然后，发送端把接收端认为错误的信息再次重发。其特点是需要反馈信道，译码设备简单。

混合纠错是 ARQ和 FEC方式的混合。发送端同时送出具有检错和纠错能力的码，如果接收端收到信码在纠错能力以内，则自动进行纠正。如果超出纠错能力，则经过反馈信道请求发送端重发。

参考

A Tutorial on Reed-Solomon Coding for Fault-Tolerance in RAID-like Systems
Optimizing Cauchy Reed-Solomon Codes for Fault-Tolerant Storage Applications
Tutorial: Erasure Coding for Storage Applications
http://jerasure.org/jerasure/jerasure
http://jerasure.org/jerasure/gf-complete
http://alanwu.blog.51cto.com/3652632/1406312
http://alanwu.blog.51cto.com/3652632/1410132
http://blog.163.com/yandong_8212/blog/static/13215391420143281143547/