常见网络模型——ER随机图、规则图、BA、WS小世界

ER随机图：（没有重边和自环的简单图）

定义一：具有固定边数的ER随机图 G(N,M)

构造算法：

（1）初始化：给定 N 个节点和待添加的边数 M

（2）随机连边：

随机选取一对没有边相连的不同节点，并在这对节点之间添加一条边
重复步骤1，直到在 M 对不同节点对之间各添加了一条边

定义二：具有固定连边概率的ER随机图 G(N,p)

构造算法：

（1）初始化：给定 N 个节点以及连边概率 p∈[0,1]

（2）随机连边：

选择一对没有边相连的不同节点
生成一个随机数 r ∈(0,1)
如果 r < p，那么在这对节点之间添加一条边；否则就不添加边
重复步骤1、2、3，直到所有节点对都被选择过一次

不使用已有库函数，自己编写模型如下：

import networkx as nx
import numpy as np'''ER model :generate a ER graph'''def ERmodel(NodeNum, ER_P):Node_num = NodeNumN = list(range(Node_num))G_ER = nx.Graph()G_ER.add_nodes_from(N)p = ER_PAdjMatrix = np.random.randint(0, 10, (Node_num, Node_num))# ER 无权无向AdjMatrix[0][0] = 0for i in range(1, Node_num):AdjMatrix[i][i] = 0for j in range(i):if i > j and AdjMatrix[i][j] < p:G_ER.add_edge(i, j)AdjMatrix[i][j] = 1AdjMatrix[j][i] = 1else:AdjMatrix[i][j] = 0AdjMatrix[j][i] = 0

规则图之最近邻耦合网络：具有周期边界条件，每个节点与最近邻 2k 个点连线

import networkx as nxif __name__ == '__main__':NUM1 = 500K = 15          #  最近邻 2K 个点连线K1 = K + 1g = nx.Graph()N = list(range(NUM1))g.add_nodes_from(N)   #  增加 NUM1 个点for i in range(NUM1):for j in range(1, K1):K_add = NUM1 - Ki_add_j = i + j + 1if i >= K_add and i_add_j > NUM1:  # 大数标签节点 加数邻边 加边判断i_add = i + j - NUM1g.add_edge(i, i_add)else:i_add = i + jg.add_edge(i, i_add)

BA无标度网络：

考虑网络的增长特性和优先连接（好像更多的人使用轮盘赌算法，以后再加好了）

增长特性：网络的规模是不断扩大的

优先连接：新的节点更倾向于与那些具有较高连接度的 hub 节点连接

构造算法：

（1）增长：从一个具有 m0 个节点的连通网络开始，每次引入一个新的节点并且连到 m 个已存在的节点上，这里 m≤m0

（2）优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点 i 相连接的概率 P_i 与节点 i 的度 k_i 之间满足关系：

P_i = k_i / ∑k_j

import networkx as nx
import numpy as np
import random
import mathif __name__ == '__main__':m_0 = 4m = 2t = 496NUM = m_0 + tg = nx.Graph()N = list(range(m_0))g.add_nodes_from(N)k = []                   #   保存各节点的度k_0 = m_0-1p_k = []                 #   保存各节点的优先概率p_0 = 1/m_0k_all = 0for i in range(m_0):          #   初始的完全图    p_k.append(p_0)k.append(k_0)k_all += k_0for j in range(i,m_0):g.add_edge(i,j)for i in range(t):m_0_t = m_0 + i               #   t 时刻的节点数m_0_1 = m_0 + i - 1         #   t-1 时刻的节点数g.add_node(m_0_t)# k_all = 0# for j in range(m_0_t_1):#     k_all += k[j]add_edge = 1while(add_edge<=m):for j in range(m_0_1):       #   按照节点顺序比较，人为使得标签小的节点度偏大p_random = random.random()       #   是否应该从概率最大的开始比较if p_random <= p_k[j] and add_edge <= m:k_j = k[j]p_k_j = p_k[j]g.add_edge(m_0_t,j)add_edge += 1k[j] = k_j + 1k_all += 2                 #   增加一条边，度增加 2p_k[j] = (k_j + 1)/k_allk.append(2)p = 2/k_allp_k.append(p)

WS小世界模型：

作为从完全规则网络向完全随机网络的过渡，在规则网络中引入少许的随机性

构造算法：

（1）从规则图开始：给定一个含有 N 个点的环状最近邻耦合网络，其中每个节点都与它左右相邻的各 K/2 个节点相连，K是偶数；

（2）随机化重连：以概率 p 随机地重新连接网络中原有的每条边，即把每条边的一个端点保持不变，另一个端点改取为网络中随机选择的一个节点，其中规定不得有重边和自环

（在上述模型中，p=0 对应于完全规则网络，p=1 对应于完全随机网络）

在具体算法实现时，可以把网络中所有节点编号为 1, 2, ..., N ;对于每个节点 i，顺时针选取与节点 i 相连的 K/2 条边中的每一条边，边的一个端点仍然固定为节点 i，以概率 p 随机选取网络中的任一个节点作为该条边的另一个端点。因此，严格来说，即使在 p=1 的情况下，通过这种算法得到的WS小世界模型与相同节点，相同变数的ER随机图模型还是有区别的：毕竟，在WS小世界中每个节点的度至少是 K/2, 而在ER随机图中则无此限制

import networkx as nx
import numpy as np
import randomif __name__ == '__main__':NUM1 = 500NUM2 = NUM1 - 1K = 15          #  最近邻 2K 个点连线K1 = K + 1p = 0.3g = nx.Graph()N = list(range(NUM1))g.add_nodes_from(N)   #  增加 N 个点for i in range(NUM1):for j in range(1, K1):K_add = NUM1 - Ki_add_j = i + j + 1if i >= K_add and i_add_j > NUM1:  #   大数标签节点 加数邻边 加边判断i_add = i + j - NUM1g.add_edge(i, i_add)else:i_add = i + jg.add_edge(i, i_add)#  按照概率 p = 0.3 重连for i in range(NUM1):for e_del in range(i + 1, i + K1):if e_del >= NUM1:     #   找到的节点标签大于实际中的标签，标签更正e_del = e_del - NUM1P_random = random.randint(0, 9)if P_random <= 2:g.remove_edge(i, e_del)e_add = random.randint(0, NUM2)    #   0 - NUM2 都可能while e_add == i or g.has_edge(i, e_add) == True:e_add = random.randint(0, NUM2)g.add_edge(i, e_add)