高数·两个重要极限练习
limx→0tanxx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\tan x}{x}limx→0xtanx
遇到这种带分式的，又有三角函数的，要立马想到第一重要极限，即limx→0sinxx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{x}limx→0xsinx=1。而题意的分子上却是tanx\tan xtanx，既然是tanx\tan xtanx，我们就把它变成sinxcosx\frac{\sin x}{\cos x}cosxsinx，所以是limx→0sinxcosxx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x}limx→0xcosxsinx，除以一个数，等于乘这个数的倒数，所以limx→0sinxcosx∗1x\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{\cos x} * \frac{1}{x}limx→0cosxsinx∗x1，为了符合第一重要极限，所以等价于limx→0sinxx∗1cosx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{x} * \frac{1}{\cos x}limx→0xsinx∗cosx1，这个不难理解吧，然后下一步该怎么做呢？根据极限的四则运算，等于limx→0sinxx∗limx→01cosx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{x} * \lim_{x\rightarrow0} \frac{1}{\cos x}limx→0xsinx∗limx→0cosx1，接下来就开始真正的运算了，第一个等于1，不用说，根据第一重要极限公式，第二个当xxx趋向于0的时候，cosx\cos xcosx应该趋向于1，因为cos0\cos 0cos0等于1嘛，所以1分之1等于1，那么两个1相乘，结果还是1，所以答案等于1。
limx→01−cosxx2\lim_{x\rightarrow0} \frac{1-\cos x}{x^2}limx→0x21−cosx
一样，我们必须想办法把它化成limx→0sinxx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{x}limx→0xsinx=1，那怎么化呢？看题意，分子是1−cosx1-\cos x1−cosx，那么根据半角公式，我们可以把它化成跟sin\sinsin有关的式子，半角公式如下：
看第一个公式，我们两边都开平方，变成(sina2)2(\sin \frac{a}{2})^2(sin2a)2 = 1−cosa2\frac{1-\cos a}{2}21−cosa，即1−cosa1-\cos a1−cosa = 2(sina2)2(\sin \frac{a}{2})^2(sin2a)2，也即1−cosx1-\cos x1−cosx = 2(sinx2)2(\sin \frac{x}{2})^2(sin2x)2，带入题目中，limx→01−cosxx2\lim_{x\rightarrow0} \frac{1-\cos x}{x^2}limx→0x21−cosx就变成了limx→02(sinx2)2x2\lim_{x\rightarrow0} \frac{2(\sin \frac{x}{2})^2}{x^2}limx→0x22(sin2x)2，接下来就要化简了，根据极限的四则运算，我们应把常数2提取出来，变成2limx→0(sinx2)2x22\lim_{x\rightarrow0} \frac{(\sin \frac{x}{2})^2}{x^2}2limx→0x2(sin2x)2，继续化简，我们可以写成2limx→0sinx2x∗sinx2x2\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} * \frac{\sin \frac{x}{2}}{x}2limx→0xsin2x∗xsin2x，即2∗limx→0sinx2x∗limx→0sinx2x2*\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} * \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{x}2∗limx→0xsin2x∗limx→0xsin2x，观察sinx2x\frac{\sin \frac{x}{2}}{x}xsin2x，看看怎么化成第一重要极限，看分母，为xxx，为了可以用上第一重要极限，我们应该把分母xxx变成x2\frac{x}{2}2x，简单，分母乘上12\frac{1}{2}21，那么分子也得乘上12\frac{1}{2}21，这样才能保证最终值不变，也就是2∗limx→012∗sinx2x2∗limx→012∗sinx2x22*\lim_{x\rightarrow0} \frac{1}{2}*\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} * \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2}*\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}2∗limx→021∗2xsin2x∗limx→021∗2xsin2x，把常数提取出来，先相乘，12\frac{1}{2}21乘以12\frac{1}{2}21等于14\frac{1}{4}41，14\frac{1}{4}41再乘以2，等于12\frac{1}{2}21，也即12∗limx→0sinx2x2∗limx→0sinx2x2\frac{1}{2}*\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} * \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}21∗limx→02xsin2x∗limx→02xsin2x，好，观察limx→0sinx2x2\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}limx→02xsin2x，当xxx趋向于0的时候，x2\frac{x}{2}2x也趋向于0，没问题，而且分子上的sinsinsin某某也等于分母，所以，它完全符合第一重要极限，等于1，所以，整体就是12∗1∗1\frac{1}{2}*1*121∗1∗1，最终结果就是12\frac{1}{2}21。
limx→0sinaxtanbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin ax}{\tan bx}limx→0tanbxsinax （b≠0b\neq0b=0）
为了迎合第一重要极限，我们必须把它变成第一重要极限，简单，分子分母同乘以axaxax，变成limx→0ax∗sinaxax∗tanbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{ax*\sin ax}{ax * \tan bx}limx→0ax∗tanbxax∗sinax，即limx→0sinaxax∗axtanbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin ax}{ax}*\frac{ax}{ \tan bx}limx→0axsinax∗tanbxax，也即limx→0sinaxax∗limx→0axtanbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin ax}{ax}*\lim_{x\rightarrow0} \frac{ax}{ \tan bx}limx→0axsinax∗limx→0tanbxax，第一个不用说了，看第二个，第二个又该怎么化简呢？在第1题的时候，limx→0tanxx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\tan x}{x}limx→0xtanx算出来的结果是不是1，是不是也说明了limx→0xtanx\lim_{x\rightarrow0} \frac{x}{\tan x}limx→0tanxx等于1，所以limx→0axtanbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{ax}{ \tan bx}limx→0tanbxax就可以写成limx→0bx∗axbx∗tanbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{bx*ax}{bx*\tan bx}limx→0bx∗tanbxbx∗ax，也就是limx→0bxtanbx∗axbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{bx}{\tan bx}* \frac{ax}{bx}limx→0tanbxbx∗bxax，所以，连起来就是limx→0sinaxax∗limx→0bxtanbx∗limx→0axbx\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin ax}{ax}*\lim_{x\rightarrow0} \frac{bx}{\tan bx}* \lim_{x\rightarrow0}\frac{ax}{bx}limx→0axsinax∗limx→0tanbxbx∗limx→0bxax，等于1∗1∗axbx1*1*\frac{ax}{bx}1∗1∗bxax，所以，结果就是ab\frac{a}{b}ba。
limx→1sin(1−x)x−1\lim_{x\rightarrow1} \frac{\sin (1-x)}{\sqrt{x}-1}limx→1x−1sin(1−x)
也是一样的，看看可不可以化成第一重要极限，看题意，xxx趋向于1，那么分母趋向于0，没问题，但是分子的sinsinsin某某跟分母的不一样，不一样，就要化简，所以，为了保证能迎合第一重要极限，我们让分子分母同乘以1−x1-x1−x，或者也可以这样，让分母有理化，分子分母同乘以x+1\sqrt{x}+1x+1，我们就试下让分母有理化这种，即limx→1sin(1−x)∗(x+1)(x−1)(x+1)\lim_{x\rightarrow1} \frac{\sin (1-x)*(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}limx→1(x−1)(x+1)sin(1−x)∗(x+1)，也就是limx→1sin(1−x)∗(x+1)x−1\lim_{x\rightarrow1} \frac{\sin (1-x)*(\sqrt{x}+1)}{x-1}limx→1x−1sin(1−x)∗(x+1)，等价于limx→1sin(1−x)x−1∗(x+1)\lim_{x\rightarrow1} \frac{\sin (1-x)}{x-1}*(\sqrt{x}+1)limx→1x−1sin(1−x)∗(x+1)，等价于limx→1sin(1−x)−(1−x)∗(x+1)\lim_{x\rightarrow1} \frac{\sin (1-x)}{-(1-x)}*(\sqrt{x}+1)limx→1−(1−x)sin(1−x)∗(x+1)，继续等价于limx→1−1∗(x+1)\lim_{x\rightarrow1} -1*(\sqrt{x}+1)limx→1−1∗(x+1)，即−limx→1(x+1)-\lim_{x\rightarrow1} (\sqrt{x}+1)−limx→1(x+1)，下面，我们就可以把1代进去了，所以，结果就是-2。
补充一下，像1−x1-x1−x我们都可以根据平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b)变成12−x21^2-\sqrt{x}^212−x2，也就是(1+x)(1−x)(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})(1+x)(1−x)。
limx→0arcsinxx\lim_{x\rightarrow0} \frac{arc\sin x}{x}limx→0xarcsinx
我们发现，分子是一个反三角函数，即y=arcsinxy=arcsinxy=arcsinx，图像如下：
学过反三角函数的都知道，y=arcsinxy=arcsinxy=arcsinx本质上就是siny=xsiny=xsiny=x，很容易理解嘛，不就是y=sinxy=sinxy=sinx的反函数嘛，有什么大不了的。其实这道题我们就可以用换元法来做，即把xxx换成sinysinysiny，所以就变成了limsiny→0ysiny\lim_{siny\rightarrow0} \frac{y}{siny}limsiny→0sinyy，分子分母换一下位置，limsiny→0sinyy\lim_{siny\rightarrow0} \frac{siny}{y}limsiny→0ysiny，看，sinysinysiny趋近于0，那么分母的yyy也趋向于0，分子的sinsinsin某某是不是跟分母一样，所以完全可以套用第一重要极限，所以结果为1。
limx→0arctanxx\lim_{x\rightarrow0} \frac{arc\tan x}{x}limx→0xarctanx也是一样的道理。
已知limx→1sina(x−1)x2−1\lim_{x\rightarrow1} \frac{sina(x-1)}{x^2-1}limx→1x2−1sina(x−1)=1，求a
= limx→1sina(x−1)(x−1)(x+1)\lim_{x\rightarrow1} \frac{sina(x-1)}{(x-1)(x+1)}limx→1(x−1)(x+1)sina(x−1)
= limx→1asina(x−1)a(x−1)(x+1)\lim_{x\rightarrow1} \frac{asina(x-1)}{a(x-1)(x+1)}limx→1a(x−1)(x+1)asina(x−1)
= limx→1sina(x−1)a(x−1)∗ax+1\lim_{x\rightarrow1} \frac{sina(x-1)}{a(x-1)}*\frac{a}{x+1}limx→1a(x−1)sina(x−1)∗x+1a
= limx→1ax+1\lim_{x\rightarrow1} \frac{a}{x+1}limx→1x+1a
= a2\frac{a}{2}2a
因为最终结果等于1，所以a等于2。
limx→∞(1+mx)x\lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{m}{x})^xlimx→∞(1+xm)x
根据第二重要极限，limx→∞(1+1x)x=e\lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{x})^x=elimx→∞(1+x1)x=e，所以，我们必须凑成这个样子，怎么凑？要想让题意等于结果eee，那就必须让它变成limx→∞(1+mx)xm\lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{m}{x})^\frac{x}{m}limx→∞(1+xm)mx，所以，limx→∞(1+mx)x\lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{m}{x})^xlimx→∞(1+xm)x就等价于limx→∞((1+mx)xm)m\lim_{x\rightarrow\infty} ((1+\frac{m}{x})^\frac{x}{m})^mlimx→∞((1+xm)mx)m，所以，最终结果就是eme^mem。
limx→0(1+4x)−1x\lim_{x\rightarrow0} (1+4x)^{-\frac{1}{x}}limx→0(1+4x)−x1
根据公式，limx→0(1+x)1x=e\lim_{x\rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=elimx→0(1+x)x1=e，所以limx→0(1+4x)−1x\lim_{x\rightarrow0} (1+4x)^{-\frac{1}{x}}limx→0(1+4x)−x1等价于limx→0((1+4x)14x)−4\lim_{x\rightarrow0} ((1+4x)^\frac{1}{4x})^{-4}limx→0((1+4x)4x1)−4，所以，结果为e−4e^{-4}e−4。
limx→∞(x+5x+2)x+3\lim_{x\rightarrow\infty} (\frac{x+5}{x+2})^{x+3}limx→∞(x+2x+5)x+3
根据题意，我们需要对x+5x+2\frac{x+5}{x+2}x+2x+5进行化简，化简如下：
=>x+2+3x+2\frac{x+2+3}{x+2}x+2x+2+3
=>x+2x+2+3x+2\frac{x+2}{x+2}+\frac{3}{x+2}x+2x+2+x+23
=>1+3x+21+\frac{3}{x+2}1+x+23
所以，题意我们可以变成limx→∞(1+3x+2)x+3\lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{3}{x+2})^{x+3}limx→∞(1+x+23)x+3，接下来套公式，我们必须把它凑成limx→∞(1+3x+2)x+23=e\lim_{x\rightarrow\infty} (1+\frac{3}{x+2})^{\frac{x+2}{3}}=elimx→∞(1+x+23)3x+2=e的形式，所以，它等价于limx→∞((1+3x+2)x+23)3x+2∗(x+3)\lim_{x\rightarrow\infty} ((1+\frac{3}{x+2})^{\frac{x+2}{3}})^{\frac{3}{x+2}*(x+3)}limx→∞((1+x+23)3x+2)x+23∗(x+3)，即等于e3x+2∗(x+3)e^{\frac{3}{x+2}*(x+3)}ex+23∗(x+3)，也就是e3x+9x+2e^{\frac{3x+9}{x+2}}ex+23x+9，我们对3x+9x+2\frac{3x+9}{x+2}x+23x+9化简下，分子分母同除以x，结果就是3+9x1+2x\frac{3+\frac{9}{x}}{1+\frac{2}{x}}1+x23+x9，也即e3+9x1+2xe^{\frac{3+\frac{9}{x}}{1+\frac{2}{x}}}e1+x23+x9，因为xxx趋于无穷，又因为n∞=0\frac{n}{\infty}=0∞n=0，所以e3+9x1+2xe^{\frac{3+\frac{9}{x}}{1+\frac{2}{x}}}e1+x23+x9就等于e3e^3e3。
limx→0(1−tanx)1x\lim_{x\rightarrow0} (1-\tan x)^\frac{1}{x}limx→0(1−tanx)x1
=> limx→0(((1+(−tanx))−1tanx)−tanx1)1x\lim_{x\rightarrow0} (((1+(-\tan x))^{-\frac{1}{\tan x}})^{-\frac{tan x}{1}})^\frac{1}{x}limx→0(((1+(−tanx))−tanx1)−1tanx)x1
=> limx→0(e−tanx1)1x\lim_{x\rightarrow0} (e^{-\frac{tan x}{1}})^\frac{1}{x}limx→0(e−1tanx)x1
=> limx→0e−tanxx\lim_{x\rightarrow0} e^{-\frac{tan x}{x}}limx→0e−xtanx
=> e−1e^{-1}e−1
以上的几个求极限的练习，完全是在练习两个重要极限，但是在考试的时候可千万别这样，能用洛必达法则去做的一定要用洛必达法则，同时还要观察能不能用等价无穷小去替换。
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