实变函数自制笔记1：前言
1、参考书：
- 实变函数论与泛函分析（第3版）（上册），曹广福，高等教育出版社；
- 实变函数论（第三版），周民强，北京大学出版社；
- 实变函数论（第三版），江泽坚等，高等教育出版社；
- 实变函数论（第5版），那汤松，高等教育出版社；
- 实分析与复分析（第3版），鲁丁，机械工业出版社；
2、背景：
实变函数就是以实数作为自变量的函数，它包括微积分里面要讨论的所有函数；而在微积分学里我们也会遇到一些特殊的函数，它们有的可能会有间断点，这样的非连续函数可能是可积函数，也有可能是不可积函数；比如我们常见的：
- 黎曼（Riemann）函数
在其定义域上是可积的； - 狄利克雷（Dirichlet）函数在其定义域上是不可积的；
对于可积性的判断，我们都要用到黎曼积分的定义：
满足以上条件，就称在
黎曼可积，
为定积分；以下将对黎曼积分简单进行各角度的分析：
- 可积函数的连续性：通过以上定义，值得注意的是，可积函数要求在定义域里任意充分小的邻域内，其值的变化不能太大，这就需要这个可积函数“基本上”、“大体上”是连续的；
- 积分与函数列的极限的交换问题：在数学分析里，积分与函数列的极限交换能够满足是需要函数列一致收敛的条件的：事实上，这个条件过于强了，而我们也可以通过一些例子来推出：可积函数的极限未必可积，即使可积，积分的极限也未必能交换顺序；
总的来说，黎曼积分具有缺陷，它最突出的缺陷就是关于极限不是封闭的（即黎曼积分并不能进行极限运算，毕竟黎曼可积函数列的极限函数并不一定黎曼可积） ，而这就需要用到勒贝格（Lebesgue）测度及积分理论了。
3、意义：
实变函数的意义就在于从微积分里正统的黎曼积分剥离出来，以勒贝格测度得出勒贝格积分理论来解决问题。
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