王道机试第十二章动态规划 12.5 背包问题（0-1背包，完全背包，多重背包）

王道机试第十二章动态规划 12.5 背包问题

1、0-1背包

0-1背包的关键特点：每种物品至多选一次，即要么选1个要么不选（0/1次）。

例题12.7 点菜问题（北京大学复试上机题）

题目分析
本题涉及到要么选，要么不选，且价值最大的问题，故而为0-1背包问题。
注意事项
背包数组的范围——和容量C相关，定义maxm=C+5
内层循环倒序
原因：
0-1背包问题的原始DP方程为dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−w[i]+v[i]])dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i] + v[i]])dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−w[i]+v[i]])。由此可知，在第iii轮更新dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]时，使用的是第i−1i - 1i−1轮的dp[i−1][j−w[i]]dp[i - 1][j - w[i]]dp[i−1][j−w[i]]的数值。即：在第iii轮必须先更新dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]，然后才轮到dp[i−1][j−w[i]]dp[i - 1][j - w[i]]dp[i−1][j−w[i]]更新，因此必须让jjj倒序递减循环，以保障更新顺序。

0-1背包问题的C++核心代码如下：

初始化：

const int maxm = 1005; // 背包容量+5
int dp[maxm]; // dp数组
memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始值

递推（内层循环倒序）：

for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = C; j >= w[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}

结果输出

cout << dp[C] << endl; // C为背包容量

本问题的完整C++代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;const int maxn = 105;
const int maxm = 1005;
int dp[maxm];
int w[maxn], v[maxn]; // 重量，价值int main()
{int C, n;while (cin >> C >> n){memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> w[i] >> v[i];}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = C; j >= w[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}cout << dp[C] << endl;} return 0;
}

例题12.7 点菜问题（北京大学复试上机题）

题目解读
板子题，涉及要么选要么不选的问题，容量固定使得价值最大。0-1背包问题。

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;const int maxn = 105;
int w[maxn], v[maxn]; // weight, valueconst int maxm = 1005;
int dp[maxm];int main()
{int C, n;while (cin >> C >> n){memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> w[i] >> v[i]; // time, value}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = C; j >= w[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}cout << dp[C] << endl; }return 0;
}

习题12.6 最小邮票数（清华大学复试上机题）

转化为0-1背包：
每个物品价值为1，令dp[j]dp[j]dp[j]表示凑齐jjj元所需要的最少邮票数。则有：
dp[j]=min(dp[j−w[i]]+1,dp[j])dp[j] = min(dp[j - w[i]] + 1, dp[j])dp[j]=min(dp[j−w[i]]+1,dp[j])，如果dp[j−w[i]]!=infdp[j - w[i]] != infdp[j−w[i]]!=inf，即方案数存在。
初始值：
凑齐0元所需货币数为0，其余为inf

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;const int maxn = 25;
int w[maxn], v[maxn];const int maxm = 105;
int dp[maxm];int main()
{int inf = 0x3f3f3f3f;int m, n;fill(v, v + maxn, 1); // 初值while (cin >> m >> n){for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> w[i];}for (int i = 1; i <= m; i++){dp[i] = inf; // 初始值}dp[0] = 0; // 初始值for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = m; j >= w[i]; j--){if (dp[j - w[i]] != inf) dp[j] = min(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}if (dp[m] == inf) cout << 0 << endl;else cout << dp[m] << endl;}return 0;
}

Piggy Bank

坑
最后的输出有英文句号！！！
题目解读
完全背包问题，有nnn种物品，可以取多次，每种物品重量为w[i]w[i]w[i]，价值为v[i]v[i]v[i]，问如何放置使得在背包完全被装满的情况下，价值最小。

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;const int maxm = 100005;
const int maxn = 505;long long dp[maxm];
int w[maxn], v[maxn];int main()
{int t; cin >> t;int inf = 0x3f3f3f3f;while (t--){int e, f, C;cin >> e >> f;C = f - e;if (C < 0){cout << "This is impossible.\n";continue;}int n; cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> v[i] >> w[i];}for (int i = 1; i <= C; i++){dp[i] = inf;}dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = w[i]; j <= C; j++){if (dp[j - w[i]] != inf) dp[j] = min(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}if (dp[C] >= inf) cout << "This is impossible.\n";else cout << "The minimum amount of money in the piggy-bank is " << dp[C] << "." << endl;}return 0;
}

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