线性代数学习点(五):向量运算规则的几何表示
原文链接:http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/LOLA/geomVect/calc.html
前面已经介绍了最基本的向量相加及向量数乘。在实际中,向量的运算往往是这两种基本运算的复合,这就需要一些运算的规则。向量绝大部分的运算规则与标量对应的运算规则一致。
第一条规则是:向量相加满足交换律。用更数学化的语言可表述为:对任意向量u 和 v,有如下等式成立: u + v = v + u.
这点很好理解,下图为采用平行四边形法则的向量相加几何示意图,无论是u 和加v,还是 v加u,结果都是以u和v两个向量为边构成的平行四边形的对角线。
若有三个或者三个以上的向量相加,结果又如何呢?三角形法则告诉我们,将这些向量的起点和终点相连,则以第一个向量的起点为起点,以最后一个向量的终点为终点,构成的这个向量即为和向量,如下图所示。
下图给出了向量加法结合律的几何图示。上面是等式左边的相加结果,下面是等式右边的相加结果。可以看出,结果都是黑色的向量。
利用交换律和结合律这两个规则,我们就可以解决任意多个向量以任意次序相加的问题。
我们再考虑更复杂一些的情况,几个向量之间的运算不仅有加法,还有数乘运算,这时就需要分配率。这里,分两种情况来讨论。
第一种情况是两个数相加后再与向量相乘。此时的运算规则如下:两个数相加之后再与向量相乘,等于两个数分别与向量相乘后再相加。用数学公式可表示为:对于任意的数c,d及任意的向量v,有:
如果c 和 d均为正数,如下图所示,那么从图很容易看出,上述等式两边的运算结果相同,结果均为向量,其方向与v相同,长度为v的长度乘以(c +d)。
如果c 和 d有一个为负数,或者均为负数,上述分配率规则同样有效,但所得向量的方向与(c+d)的取值有关,可能与v相同,也可能与v相反。
对这条规则的理解与第一种情况的完全类似,下图给出了一个这种情况下的几何示意图。
综合这两种情况,用更口语化的方式,分配率可统一表述为:相加之后的相乘与相乘之后的相加相等。
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