最速降线问题——欧拉-拉格朗日方程的推导

由机械能守恒：

$mgy=\frac{1}{2}mv^2$

得 $v$ ：

$v=\sqrt{2gy}$

由勾股定理得：

$ds = \sqrt{dx^{2}+dy^{2}} = \sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}dx$

对弧长积分得：

$T = \int_{a}^{b}\frac{ds}{v} = \int_{x_{a}}^{x_{b}} \frac{ \sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}}{\sqrt{2gy}}dx= \int_{x_{a}}^{x_{b}}\sqrt{\frac{1+(y')^2}{2gy}}dx$

函数y是任意一条两端固定的曲线函数，将T表示成函数的函数：

$T(y)=\int_{x_{a}}^{x_{b}}f(y,y' ,x)dx$

假设y是一个极大值, 当y发生微小的变化时, y的变化率趋近于0，这种微小的变化记作 $\delta{T}$ .

$\delta{T} = T(y + \delta{y}) - T(y) = \int_{x_{a}}^{x_{b}}[f(x,y + \delta y,y' + \delta y' ) - f(x, y, y')]dx$

根据多元积分链式法则得：

$f(x,y + \delta y,y' + \delta y' ) = f(x,y,y') + \frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\partial f}{\partial y'}\delta y'$

带入上式得：

$\delta T = \int_{x_{a}}^{x_{b}}(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\partial f}{\partial y'}\delta y')dx$

如果将 $\delta y$ , $\delta y'$ 理解为与原函数的差函数, 那么变化量和 $dx$ 无关.

由于两端固定, 从数学上可证明微分、变分的交换性质：

$d(\delta y) = \delta(dy)$

进而得：

$\delta y' = \frac{d}{dx} \delta y$

带入上式得：

$\delta T = \int_{x_{a}}^{x_{b}}(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\partial f}{\partial y'}(\delta y)')dx$

积分第二项分部积分得：

$\int_{x_{b}}^{x_{a}} \frac{\partial f}{\partial y'}(\delta y)'dx = \frac{\partial f}{\partial y'}\delta y \bigg|_{x_{a}}^{x_{b}} - \int_{x_{b}}^{x_{a}} ( \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'}\delta y) dx$

因为两端点的变分恒为0, 可得:

$\int_{x_{b}}^{x_{a}} \frac{\partial f}{\partial y'}(\delta y)'dx = - \int_{x_{b}}^{x_{a}} ( \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'}\delta y) dx$

带入原方程得：

$\delta T = \int_{x_{a}}^{x_{b}}(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'}\delta y)dx$

若要T取得极值, $\delta T$ 必须满足等于0, 即：

$\delta T = \int_{x_{a}}^{x_{b}}(\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'})\delta y dx = 0$

因 $\delta y$ 任意选取, 要满足方程恒为0, 必须满足：

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'}= 0$

此式即为欧拉-拉格朗日方程。

根据此方程, 可知最速降线为摆线：

$\begin{cases} x &= \frac{C}{2}(\theta - \sin{\theta}) \\ y &= \frac{C}{2}(1 - \cos{\theta}) \end{cases}$

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