第十四周总结（初等数论）

欧几里得算法（辗转相除法）

本次数论的基础
先给出代码

int gcd(int a, int b)
{while (b != 0){int c = a;a = b;b = c % b;}return a;
}

简单证明（不严谨，只是为了便于记忆）：
a = kb + r
r = a % b
假设 c 为 a，b 的最大公约数
那么 c 可以整除 a，b，r 三者
因此 a，b 的最大公约数等于 b，r 的最大公约数
于是 gcd(a, b) = gcd(b, a%b)
当出现 gcd(a,0) 的情况时说明找到了最大公约数，为 a

扩欧（扩展欧几里得算法）

用于求解形如 ax + by = c （a，b，c均为整数）的方程的一组解
事实上，只有当 gcd(a,b) 能够整除 c 的时候方程才有解
因此通常情况下a，b是互质的，确保方程有解
先给出代码（默认c为1）

//在求解的同时返回a，b的最大公约数，建议将x y设置为全局变量
//最后的结果：x为a%b的逆元，y为b%a的逆元,结果可能会小于零，若小于零，手动x+=b,y+=a
int ex_gcd(int a, int b)
{if (b == 0)//b==0时得到gcd的结果，即a'=gcd(a,b)这里的a'和a是两个值，所以x=1{x = 1;y = 0;return a;}int ans = ex_gcd(b, a % b, x, y);//根据x',y'和x,y的关系逆推回去int t = x;x = y;y = t - (a / b) * y;return ans;//返回最小公约数
}

证明

费马小定理求逆元

若有 a p 互质，且 p 为质数，则 a^p-1 =1 (mod p)
因此 a^p-2 = x 就是 a 在模 p 下的逆元
这个定理的限制较多，只有在p为质数的条件下才能使用。

线性打逆元表

如果要求一段连续数字的逆元，有一种线性的方法（会用板子就行，证明略）

long long f[maxn];
void work(long long n, long long p)
{f[1] = 1; // 1的逆元为1for (long long i = 2; i <= n; i++){f[i] = -(p / i) * f[p % i];f[i] = (f[i] % p + p) % p;}
}

欧拉函数

φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，计算方法如图（p是x的所有质因数）

int Phi(int x)
{int ans = x;for (int i = 2; i * i <= x; i++){if (x % i == 0) // i是x的一个质因数{ans = ans / i * (i - 1);while (x % i == 0)x /= i;}}if (x > 1) ans = ans / x * (x - 1);return ans;
}

φ(n)具有以下性质：
如果 m，n 互质，则 φ(nm) = φ(m)φ(n)

利用这个性质再结合素数筛的思想可以线性求一段数字的欧拉函数：

long long phi[maxn], n, pr[maxn], tot = 0, ans = 0;
bool pd[maxn];void getphi(int n)
{phi[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++){if (pd[i] = false){pr[++tot] = i;phi[i] = i - 1; //质数除了1以外都与自己互质}for (int j = 1; j <= tot && pr[j] * i <= n; j++){long long t = i * pr[j];pd[t] = true;if (i % pr[j] == 0){phi[t] = phi[i] * pr[j];break;}elsephi[t] = phi[i] * (pr[j] - 1);}}
}

组合计数

卢卡斯定理 a，b很大时（1e18），并且要求对结果取模p，有以下结论

int quick(int a, int b, int p)
{int res = 1;while (b){if (b & 1) res = res * a % p;a = a * a % p;b >>= 1;}return res;
}
int C(int a, int b, int p)
{if (b > a) return 0;int res = 1;for (int i = 1, j = a; i <= b; i++, j--){res = res * j % p;res = res * quick(i, p - 2, p) % p;}return res;
}
int lucas(int a, int b, int p)
{if (a < p && b < p) return C(a, b, p);return C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}