Bresenham’s algorithm( 布兰森汉姆算法)画直线

简介

1967年，IBM的J.Bresenham提出了Bresenham算法。
    Bresenham算法是在一些约定条件下的最佳逼近。
    Bresenham算法通过前一个像素点提供的信息来判定后一个像素点的位置。
    DDA算法虽也可绘制直线，但该算法中存在类型转换以及除法运算，当需要画大量的直线时，速度慢。而Bresenham算法则只涉及加法和乘法，且乘法是乘2操作，相当于移位，减少了画直线所需的时间。

符号说明（Notations）

直线从（x0，y0）开始，到（x1，y1)结束。

    假设斜率|m| ≤1。
    从x = x0开始，每次对x轴的值增加1。
    令第i个像素点的坐标为（xi，yi）
    则下一个像素点的坐标只能为（xi + 1，yi）或（xi + 1，yi + 1）

判别标准（Criteria）

当选择下一个要画的点时，选择距离下面交点更近的一个像素点。

    两个候选像素点到交点的距离分别为：

    显然：如果dlower - dupper > 0，则取交点上方的点作为下一个点；如果dlower - dupper < 0，则取交点下面的点作为下一个点；如果dlower - dupper = 0，则可任选一点。

判别条件的计算（Computation of Criteria）

由于m（斜率）的计算是除法运算，为了节约运算时间，我们需要去掉除法运算。不妨把在这里插入图片描述代入上式，再两边同时除以△x。由前面判别条件可以知道，我们所关注的只是dlower - dupper 的符号（正负），而△x的符号肯定为正的，因此，可以作如下处理：

    其中：

    对于pi，我们可以得出如下结论：
        如果pi > 0，则选择（xi + 1，yi + 1）作为下一点；
        如果pi < 0，则选择（xi + 1，yi）作为下一点；
        如果pi = 0，则随机选一个。

简化计算，递归求Pi

首先，对于p0，我们有：

    易知：

    如果pi ≤ 0，根据上面结论，选择（xi + 1，yi）作为下一点，则此时yi+1 - yi = 0，因此：

如果pi ≤ 0，根据上面结论，选择（xi + 1，yi+1）作为下一点，则此时yi+1 - yi = 1，因此：

通过上面所述，知道了p0以及pi和pi+1的关系，则可以画直线了。

Bresenham总结

画出（x0，y0）
    计算△x，△y，2△y，2△y - 2△x，p0 = 2△y - △x
    如果pi ≤ 0，画出（xi+1，yi+1） = （xi + 1，yi），同时计算pi+1 = pi + 2△y
    如果pi ＞ 0，画出（xi+1，yi+1） = （xi + 1，yi + 1），同时计算pi+1 = pi + 2△y - 2△x
    重复第3步和第4步，直到画完直线。

例如：画出直线(3,4)-(8,7)

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