方形物体绕中心旋转的扭力

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本篇文章主要介绍三维空间下旋转的三种表示形式：四元数、矩阵和欧拉角，阐述了三种旋转表示的数学原理并且对比了它们的优缺点。目录结构：

四元数
旋转矩阵
欧拉角
参考

1. 四元数

四元数（Quaternion）是由爱尔兰数学家威廉•卢云•哈密顿在1843年发现的数学概念，在图形学中有重要的应用。在3D程序中，通常用四元数来计算3D物体的旋转角度，与矩阵相比，四元数更加高效，占用的储存空间更小，此外也更便于插值。

任意一个四元数可以表示为：

其中，

，注意

，但是

。四元数的长度（模长）表示为

，通常将四元数规一化(Normalized)，即：

四元数本质上是复数（Complex Number），复数就存在一个共轭的概念。若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭（Conjugate），

的共轭复数

表示为：

四元数间的运算，遵循复数间运算法则。

加减法：

与系数的乘积：

点积：

四元数点积与向量点积相似，也可以计算四元数之间的角度差，即：

四元数间的乘积不遵守交换律，表示为：

等式展开得：

其中，

任意一个四元数可以分解为向量和标量两部分，即

，则两个四元数

的乘积有下列等式成立，具体的推导参见[2][3]：

根据欧拉旋转定理，任何坐标系的相对定向，可以用四个数来规定。四元数原理的核心也在于：三维空间内，所有的旋转都可以用四个数来表示。通过四元数来计算旋转，它能减少所需的工作，并减小舍入误差。在电脑图形学里，四元数的插值计算是很简单的，这有非常重要的应用价值。

图1. 绕着指定轴的旋转[1]

在三维空间上，物体绕着任意一条轴旋转

度，任意一个绕着指定点的旋转都可以表示成绕着经过该点的轴的旋转，如图1所示，考虑绕着点

的旋转，任意一个点

经过旋转变换后，得到新的点

。用四元数表示绕着轴

旋转

角度的旋转：

其中，

。

相反，给定一个四元数

，可以计算出它表示的旋转轴和角度，如下所示：

其中，若

，则

表示绕着任意坐标轴旋转

度。

假设存在一个向量

和一个四元数

，四元数可以表示一个旋转，把向量

进行旋转变换，得到新向量

，可以表示为：

把等式（10）代入等式（13），且由拉格朗日公式

，上式可以简化为：

若对向量

进行四元数

表示的旋转的逆变换，得到新向量

，可以表示为：

可以简化为：

图2. 线性插值

最后，介绍下四元数的球面插值。以线性插值为例，如图2所示，在两个向量

之间插值，得到等式

，线性插值存在一个缺点是，在以

为半径的圆的曲线轨迹上不是恒速变化的。

图3. 球面插值

四元数的球面插值（Spherical Linear Interpolation）仍然只用于表示旋转，它是关于单位四元数构成的球表面上的操作。如图3所示，作辅助线，经过点

作一条平行于

的直线，

相交于点

；经过点

作一条直线垂直于

，并交于点

；经过点

，作一条直线平行于

，与

交于点

。易知，

，则易知

，即有：

同理，可以计算出：

四元数的球面插值可以表示为：

四元数广泛的应用在3D游戏动作的旋转表示，四元数表示旋转不直观，但是更健壮、更高效。四元数只有4个值，矩阵有9个，花费更少的空间和时间。当使用浮点数对矩阵进行大量的操作，浮点数的误差就会不断累积到矩阵，误差的累积会使得旋转的计算发生错误，四元数的计算更少，误差也会相应的更少，也不会出现欧拉角中出现的万向节死锁。

2. 旋转矩阵

在二维空间上，绕着原点，沿着逆时针方向旋转

角，可以用

的矩阵表示为：

在三维空间上，绕着

轴、

轴的旋转分别用

的矩阵

表示，有

其中，沿着坐标轴相反的方向观察，

表示逆时针旋转的角度。

如果希望三维空间上的物体能绕着

轴旋转

度，旋转中心的齐次表示为

，那么该如何进行变换呢[1]？由于采用矩阵形式的变换，可以用矩阵的乘积来叠加。首先，应该进行平移变换，使

点与原点重合，这一过程可以用

表示；然后，进行旋转变换

；最后，再进行位移变换，返回至物体原先坐标。总的变换矩阵用

表示，则可以用

表示变换后的点，

为：

在三维空间上，物体绕着任意一条轴旋转

度可以用

的旋转矩阵

表示[1]。任意一个绕着指定点的旋转都可以表示成绕着经过该点的轴的旋转，如图1所示，考虑绕着点

的旋转，任意一个点

经过旋转变换后，得到新的点

。我们可以把这样的旋转分解为几个步骤：

i. 把轴

进行两次旋转变换，即

和

，使得轴

与

轴方向相同；
ii. 绕着
轴旋转

度，即

；
iii. 与第i步相反的旋转变换，使得轴
恢复到最初方向。

组合上述5个旋转变换，总的变换可以表示为

把等式（21）中的变换等式代入（23）中，可以得到总的变换等式

其中，

。

相反，若给定一个旋转矩阵

，我们也可以求出它是绕着哪条坐标轴旋转多少度角？设

由等式（24），可以计算出旋转的角度为

轴

三个方向的分量为

旋转矩阵

有三个重要的性质：

i.
ii.
iii.

单位四元数

，可以用矩阵形式表示为：

旋转矩阵在图形渲染中占据着非常重要的作用，它支持传递性，使用起来很简单方便，但是不直观，比较浪费内存，至少需要12个参数矩阵插值的实现难度很大。

3. 欧拉角

欧拉角是用于描述刚体在三维空间的朝向，它是相对于指定参考坐标系的旋转，一个刚体的朝向，依赖于参考坐标系，按一定顺序，做出的三个欧拉角的旋转而构成的。

欧拉角包括3个旋转，根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴，y轴和z轴，分别称为Pitch，Yaw和Roll，如图4所示。欧拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋转的顺序影响结果。

Pitch

Yaw

Roll

欧拉角很重要的一个优点就是直观，容易理解，但是也存在一些致命的缺点。旋转的顺序会影响旋转的结果，不同的应用又可能使用不同的旋转顺序，旋转顺序无法统一。3个旋转的角度可以不受限制，即可以是10000度，也可以是-1500度。还可能造成万向节死锁（Gimbal Lock）。

如图5所示，当两个环发生重叠的时候，就会丢失了一个自由度，也正是由于锁的存在，无法使用欧拉角实现球面平滑的插值。万向节死锁可以参考[6]提供的视频，对知识点的介绍非常的形象生动。

图5. 万向节死锁

参考

[1] F. Hill, and S. Kelley. Computer Graphics Using OpenGL, 3/E, Pearson, 2007.

[2] WIKIPEDIA. “Quaternions and spatial rotation. website<https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation>

[3] WIKIPEDIA. “Quaternions.” website< https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion>.

[4] WIKIPEDIA. “Euler angles.” website< https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles>.

[5] Fletcher Dunn and Ian Parberry. 3D math primer for graphics and game development. CRC Press, 2015.

[6] Youku, “欧拉旋转.”, website<https://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html>.