概述

在3D图形学中，几何变换大致分为三种：平移变换(Translation)、缩放变换(Scaling)、旋转变换(Rotation)，而其中又以旋转变换(Rotation)最为复杂，通常旋转变换(Rotation)是有三种常用方式：矩阵旋转(Rotate Matrix)、欧拉角(Euler Angles)、四元数(Quaternion)，下面我们会对三种旋转方法及其特点优缺点进行介绍。

矩阵旋转

矩阵是3D图形学中的重点，通常的数学表达方式如下图所示：

按上图所示，矩阵可以看作是向量的数组，而向量又是标量的数组，简单来说矩阵就是对向量进行坐标变换。

矩阵可以有任意多行、任意多列，一行的矩阵即行向量，一列的矩阵即列向量，一个列数和行数相等的矩阵我们称之为方阵，3D数学中矩阵几乎以方阵形式出现。

欧拉角

什么是欧拉角，作为三维空间中的旋转描述方式的一种，欧拉角采用旋转坐标系的方法让物体的旋转可以始终按照自身当前的坐标系来作为基准将连贯的旋转运动有序的分割开来，使其更加有助于人们更直观的理解。

在维基百科中对欧拉角的解释中有个动图非常清晰的展示了欧拉角完成旋转过程：

具体来说可理解为下图所示：

在图片上可以看到分别有两组坐标：xyz代表的全局坐标，XYZ代表的局部坐标，当物体运动时，全局坐标始终保持不变，而局部坐标随着物体一起运动。

我们把旋转分解一下就会得到以下步骤：

• 物体绕全局的z轴旋转α角

• 绕局部X轴(图中的N轴)旋转β角

• 最后绕自己的Z轴旋转γ角

欧拉角可分为两种情况：

• 静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静止，所以称为静态。

• 动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。

四元数

四元数作为图形学来解决旋转问题其实是不如欧拉角表示方式来的直接，欧拉角只用3个数字(偏航/yaw，俯仰/pitch，横滚/roll)即可表达，而四元数是需要四个数的，但是用欧拉角来处理旋转是有致命或不可回避的问题：万向锁。于是我们就可以通过将欧拉角转换成四元数来解决规避这个问题。

通俗的说，一个四元数(Quaternion)描述了一个喜欢转轴和一个旋转角度，当用一个四元数乘以一个向量时，实际上就是让该向量围绕着这个四元数所描述的旋转轴，转动这个四元数所描述的角度而得到的向量，如图：

四元数只需要一个规格化的4维向量表示，所以其在插值计算尤其是线性插值算法中处理平滑插值时非常简单易处理的，下图展示了简单的Bezier曲线例子：

差异

三种方法都有自己的优缺点，下面我们举个例子来说明一下，当前做相同绕Y轴做角度30度的旋转时，三种表示方式如下：

矩阵：

欧拉角：

Heading = 30

Pitch = 0

Bank = 0

四元数：

[0.9659 (0， 0.2588 0)]

可以看出如果使用矩阵来表达就需要9个数做存储，而且对应的计算相对复杂。欧拉角中heading代表Y轴旋转30度，Pitch、Bank不旋转为0，这种表示方式最简单直接，容易理解，只用3个数就能表达出来。而四元数，使用了4个数来表达，比矩阵简单，相对欧拉角只是复杂了一些。

三种方法各有各的优缺点，下面的表格为我们展示了各自的问题

基于以上的介绍我们可以看出，3D图形学中的旋转是一个最复杂的难题，每个方法都有自己的优点和缺点，没有一种方法是可以保证处理所有问题的，要根据实际情况来选择不同的旋转方法，同时又要根据不同的情况在三种转换方法间做换算，不能只单一使用一种旋转方式来处理。