对数函数定义域和值域为r

我们知道，指数函数

，对于每一个确定值x，都有一个y值与它相对应。并且当x取不同值时，得到的函数值y也是不同的。也就是说指数函数的自变量与因变量是一一对应的。

对于任意的

,在R中都有唯一的数x满足

。如果把y看做自变量，那么x就是y的函数。由对数的定义可知，这个函数可以表示为

。

通常习惯将自变量用x表示，所以这个函数可以写成

。这种形式的函数称为

对数函数，其中函数的定义域为

，a叫做对数函数的

底数。

以10为底数的对数函数为常用对数函数，记作

；以无理数e为底的对数函数称为

自然对数函数，记作

。

指数函数

和对数函数

描述同一对变量x，y之间的关系。在指数函数

中，函数定义域为实数集R，值域为

。在对数函数

中，定义域为

，值域为实数集R。像这样的两个函数称作互为

反函数。即对数函数

是指数函数

的反函数，指数函数

是对数函数

的反函数。

下面研究对数函数的性质，从特殊到一般，首先观察a=2以及a=1/2时对数函数的图像，如下所示：

可以看到，这两根曲线只在y轴右侧有值，且都经过点(1,0)。不同的是当a=2时，函数是上升的；当a=1/2时，函数是下降的。

对数函数

,当底数a>1或者0<a<1时函数的性质总结如下：

（1）两者的定义域都为

，值域都为实数集。并且都经过点(1,0)

（2）当a>1时，函数为增函数；当0<a<1时，函数为减函数。

（3）当a>1时，若x>1，则y>0，若0<x<1，则y<0；当0<a<1时，若x>1，则y<0，若0<x<1，则y>0。

最后还应该看到，由于指数函数

和对数函数

互为反函数，其函数图像关于直线y=x对称。假设a=2，两个函数图像如下图所示，可以看到这两个函数的图像关于y=x对称。

由于函数

和函数

的图像关于直线y=x对称，所以只要记住了指数函数的特性，通过类比就能知道对数函数的特性。

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