[清华集训2017]无限之环（网络流）

很妙的一道题

对于每个格子，它合法与否，只跟它上下左右的相邻格子有关，所以可以想到黑白染色
（用 (i,j) 表示 i 行 j 列的格子，我把 (i+j) %2 == 0 的格子染成白色，把(i+j)%2 == 1 的格子染成黑色）

关键是怎么描述旋转操作

我朴实的想法是给每个格子建四个点，每个点代表格子可通过旋转达到的一种状态，从格子的初始状态向格子其它状态连边，然后把格子间可以匹配的状态连起来，再然后……就没有然后了

看了题解，真的被惊到了
还是把每个格子拆成4个节点，对应四个方向上的接口
从源点向白格的接口连流量上界1，费用0的边
从黑格的接口向汇点连流量上界1，费用0的边
从黑格的接口向可以匹配的白格的接口连流量上界1，费用0的边
然后旋转操作，就可以通过一种神奇方式描述出来：

 AD  O   BC

把这个看成一个白格（黑格类似，只是连边方向相反）
边（u->v，f，w）代表从 u 到 v，流量上界 f，费用 w 的边
下文描述的旋转方向均为顺时针
1.此格有1个接口：

 A|
D   O   BC

（A->B ，1，1)）对应转90度
（A->C， 1，2)）对应转180度
（A->D ，1，1)）对应转270度
2.此格有2个接口：
情况1：

  A|
D    O —— BC

（A->C， 1，1)）对应转90度
（B->D ，1，1)）对应转270度
（A->C， 1，1)）+（B->D ，1，1)）对应转180度
情况2：

 A|
D   O   B|C

不能转，忽略
3.此格有3个接口：

  A|
D    O —— B|C

（A->D ，1，1)）对应转270度
（B->D， 1，2)）对应转180度
（C->D ，1，1)）对应转90度
4.此格有4个接口：

  A|
D —— O —— B|C

转了也没区别，忽略

建完图后跑最小费用最大流即可

如果我表达不清的话，这是样例1的建图，很丑，凑合着看吧

图上标的数代表费用，没标的边默认费用为0，所有边的流量上界默认为1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const int N=8100;
const int M=200010;
struct Edge{int u,v,f,w,nxt;
}edge[M<<1];
int s,t,head[N],cnt,maxflow,mincost,dis[N],inque[N],pre[N];
queue<int> q;
int n,m,id[2005][2005][4],num,gr[2005][2005],tot;
void add(int u,int v,int f,int w){edge[cnt].u=u;edge[cnt].v=v;edge[cnt].f=f;edge[cnt].w=w;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt++;edge[cnt].u=v;edge[cnt].v=u;edge[cnt].f=0;edge[cnt].w=-w;edge[cnt].nxt=head[v];head[v]=cnt++;
}
bool spfa(){memset(dis,0x7f,sizeof(dis));memset(inque,0,sizeof(inque));memset(pre,-1,sizeof(pre));dis[s]=0;q.push(s);inque[s]=1;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].v;if(edge[i].f>0&&dis[v]>dis[u]+edge[i].w){dis[v]=dis[u]+edge[i].w;pre[v]=i;if(!inque[v]){q.push(v);inque[v]=1;}}}} if(pre[t]!=-1) return 1;return 0;
}
void EK(){int flow;while(spfa()){flow=inf;int x=pre[t];while(x!=-1){flow=min(edge[x].f,flow);x=pre[edge[x].u];}x=pre[t];while(x!=-1){edge[x].f-=flow;edge[x^1].f+=flow;mincost+=flow*edge[x].w;x=pre[edge[x].u];}maxflow+=flow;}
}
int main(){memset(head,-1,sizeof(head));scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)for(int k=0;k<4;k++)id[i][j][k]=++num;s=++num,t=++num;     for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&gr[i][j]);int tt=0,pos[5]={-1,-1,-1,-1,-1},npos=-1;for(int k=0;k<4;k++){if(gr[i][j]&(1<<k)){tot++;pos[++tt]=k;if((i+j)%2==0) add(s,id[i][j][k],1,0);else add(id[i][j][k],t,1,0);}else npos=k;}if(tt==1){if((i+j)%2==0){add(id[i][j][pos[1]],id[i][j][(pos[1]+1)%4],1,1);add(id[i][j][pos[1]],id[i][j][(pos[1]+2)%4],1,2);add(id[i][j][pos[1]],id[i][j][(pos[1]+3)%4],1,1);}else{add(id[i][j][(pos[1]+1)%4],id[i][j][pos[1]],1,1);add(id[i][j][(pos[1]+2)%4],id[i][j][pos[1]],1,2);add(id[i][j][(pos[1]+3)%4],id[i][j][pos[1]],1,1);}}else if(tt==2){if(pos[2]-pos[1]==2) continue;if((i+j)%2==0){add(id[i][j][pos[1]],id[i][j][(pos[1]+2)%4],1,1);add(id[i][j][pos[2]],id[i][j][(pos[2]+2)%4],1,1);}else{add(id[i][j][(pos[1]+2)%4],id[i][j][pos[1]],1,1);add(id[i][j][(pos[2]+2)%4],id[i][j][pos[2]],1,1);}}else if(tt==3){if((i+j)%2==0){add(id[i][j][(npos+1)%4],id[i][j][npos],1,1);add(id[i][j][(npos+2)%4],id[i][j][npos],1,2);add(id[i][j][(npos+3)%4],id[i][j][npos],1,1);}else{add(id[i][j][npos],id[i][j][(npos+1)%4],1,1);add(id[i][j][npos],id[i][j][(npos+2)%4],1,2);add(id[i][j][npos],id[i][j][(npos+3)%4],1,1);}}else continue;}}//一开始这一块的建图错了 int dx[]={-1,0,1,0};int dy[]={0,1,0,-1};for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if((i+j)%2==0){for(int k=0;k<=3;k++){int x=i+dx[k],y=j+dy[k];if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;add(id[i][j][k],id[x][y][(k+2)%4],1,0);}}}}EK();if(tot%2!=0||maxflow!=tot/2) printf("-1\n"); //注意还要判断tot%2！=0的情况 else printf("%d\n",mincost);return 0;
}

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