2022年数学建模国赛（A题/B题/C题）评阅要点

A题（波浪能最大输出功率设计）评阅要点

B题无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位）评阅要点

C题（无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位）评阅要点）评阅要点

附录：微分方程例程（与本文无关）

3.1 例题：求二阶 RLC 振荡电路的数值解

高阶常微分方程，必须做变量替换，化为一阶微分方程组，再用 odeint 求数值解。

零输入响应的 RLC 振荡电路可以由如下的二阶微分方程描述：

{d2udt2+RL∗dudt+1LC∗u=0u(0)=U0u′(0)=0\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{d^2 u}{dt^2} + \frac{R}{L} * \frac{du}{dt} + \frac{1}{LC}*u = 0\\ &u(0) = U_0\\ &u'(0)= 0 \end{aligned} \end{cases} ⎩⎨⎧dt2d2u+LR∗dtdu+LC1∗u=0u(0)=U0u′(0)=0

令 α=R/2L\alpha = R/2Lα=R/2L、ω02=1/LC\omega_0^2=1/LCω02=1/LC，在零输入响应 us=0u_s=0us=0 时上式可以写成：

{d2udt2+2αdudt+ω02u=0u(0)=U0u′(0)=0\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{d^2 u}{dt^2} + 2 \alpha \frac{du}{dt} + \omega_0^2 u = 0\\ &u(0) = U_0\\ &u'(0)= 0 \end{aligned} \end{cases} ⎩⎨⎧dt2d2u+2αdtdu+ω02u=0u(0)=U0u′(0)=0
对二阶微分方程问题，引入变量 v=du/dtv = {du}/{dt}v=du/dt，通过变量替换就把原方程化为如下的微分方程组：

{dudt=vdvdt=−2αv−ω02uu(0)=U0v(0)=0\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{du}{dt} = v \\ &\frac{dv}{dt} = -2\alpha v - \omega_0^2 u\\ &u(0)=U_0\\ &v(0)=0 \end{aligned} \end{cases} ⎩⎨⎧dtdu=vdtdv=−2αv−ω02uu(0)=U0v(0)=0

这样就可以用上节求解微分方程组的方法来求解高阶微分方程问题。

3.2 二阶微分方程问题的编程步骤

以RLC 振荡电路为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解高阶常微分方程初值问题的步骤：

导入 scipy、numpy、matplotlib 包；
定义导数函数 deriv(Y, t, a, w)

注意 odeint() 函数中定义导数函数的标准形式是 f(y,t)f(y,t)f(y,t) ，本问题中 y 表示向量，记为 Y=[u,v]Y=[u,v]Y=[u,v]

导数定义函数 deriv(Y, t, a, w) 编程如下，其中 a, w 分别表示方程中的参数 α、ω\alpha、\omegaα、ω：

# 导数函数，求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):u, v = Y  # Y=[u,v]dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]return dY_dt

定义初值 Y0=[u0,v0]Y_0=[u_0,v_0]Y0=[u0,v0] 和 YYY 的定义区间 [t0,t][t_0,\ t][t0, t]；
调用 odeint() 求 Y=[u,v]Y=[u,v]Y=[u,v] 在定义区间 [t0,t][t_0,\ t][t0, t] 的数值解。

例程中通过 args=paras 将参数 (a,w) 传递给导数函数 deriv(Y, t, a, w) 。本例要考察不同参数对结果的影响，这种参数传递方法使用非常方便。

3.3 二阶微分方程问题 Python 例程

# 3. 求解二阶微分方程初值问题(scipy.integrate.odeint)
# Second ODE by scipy.integrate.odeint
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 导数函数，求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):u, v = Y  # Y=[u,v]dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]return dY_dtt = np.arange(0, 20, 0.01)  # 创建时间点 (start,stop,step)
# 设置导数函数中的参数 (a, w)
paras1 = (1, 0.6)  # 过阻尼：a^2 - w^2 > 0
paras2 = (1, 1)  # 临界阻尼：a^2 - w^2 = 0
paras3 = (0.3, 1)  # 欠阻尼：a^2 - w^2 < 0# 调用ode对进行求解, 用两个不同的初始值 W1、W2 分别求解
Y0 = (1.0, 0.0)  # 定义初值为 Y0=[u0,v0]
Y1 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras1)  # args 设置导数函数的参数
Y2 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras2)  # args 设置导数函数的参数
Y3 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras3)  # args 设置导数函数的参数
# W2 = (0.0, 1.01, 0.0)  # 定义初值为 W2
# track2 = odeint(lorenz, W2, t, args=paras)  # 通过 paras 传递导数函数的参数# 绘图
plt.plot(t, Y1[:, 0], 'r-', label='u1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 0], 'b-', label='u2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 0], 'g-', label='u3(t)')
plt.plot(t, Y1[:, 1], 'r:', label='v1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 1], 'b:', label='v2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 1], 'g:', label='v3(t)')
plt.axis([0, 20, -0.8, 1.2])
plt.legend(loc='best')
plt.title("Second ODE by scipy.integrate.odeint")
plt.show()

3.4 二阶方程问题 Python 例程运行结果

结果讨论：

RLC串联电路是典型的二阶系统，在零输入条件下根据 α\alphaα 与 ω\omegaω 的关系，电路的输出响应存在四种情况：

过阻尼： α2−ω2>0\alpha^2 - \omega^2>0α2−ω2>0 ，有 2 个不相等的负实数根；
临界阻尼： α2−ω2=0\alpha^2 - \omega^2 = 0α2−ω2=0，有 2 个相等的负实数根；
欠阻尼： α2−ω2<0\alpha^2 - \omega^2 <0α2−ω2<0，有一对共轭复数根；
无阻尼：R=0R=0R=0，有一对纯虚根。

例程中所选择的 3 组参数分别对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的条件，微分方程的数值结果很好地体现了不同情况的相应曲线。