极化码：信道极化原理(一)—

正文：
信道极化 最早由Arıkan教授在其创造性的论文[1]中提出，是对一组可靠性相同的二进制对称输入离散无记忆信道(Binary-Input Discrete Memoryless Channel, B-DMC)进行信道合并与信道拆分操作，使得拆分后的极化子信道可靠度呈现两极分化的现象。
给定一个B-DMC信道W:X→YW:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}W:X→Y，其中X={0,1}\mathcal{X} = \left\{ 0,1 \right\}X={0,1}为输入信号集合，Y\mathcal{Y}Y为输出信号集合，W(y∣x)W\left( {y\left| x \right.} \right)W(y∣x)为信道转移概率且x∈Xx\in \mathcal{X}x∈X，y∈Yy \in \mathcal{Y}y∈Y。WWW的信道容量定义如下

I(W)=∑y∈Y∑x∈X12W(y∣x)log⁡W(y∣x)12W(y∣0)+12W(y∣1)I\left( W \right)=\sum\limits_{y\in \mathcal{Y}}{\sum\limits_{x\in \mathcal{X}}{\frac{1}{2}W\left( y\left| x \right. \right)\log \frac{W\left( y\left| x \right. \right)}{\frac{1}{2}W\left( y\left| 0 \right. \right)+\frac{1}{2}W\left( y\left| 1 \right. \right)}}}I(W)=y∈Y∑x∈X∑21W(y∣x)log21W(y∣0)+21W(y∣1)W(y∣x)

图1 最基本的两信道极化过程

为简单起见，本文介绍 最基本的两信道极化过程 如图1所示。u1,u2∈B{{u}_{1}},{{u}_{2}}\in \mathbb{B}u1,u2∈B是信源比特，x1,x2∈B{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{B}x1,x2∈B是对u1{{u}_{1}}u1和u2{{u}_{2}}u2进行模2加编码后的编码比特。接着，将x1{{x}_{1}}x1与x2{{x}_{2}}x2分别送入信道WWW后，得到输出信号y1,y2∈Y{{y}_{1}},{{y}_{2}}\in \mathcal{Y}y1,y2∈Y。上述的模2加编码过程可以通过编码矩阵F=[1011]\mathbf{F}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{matrix} \right]F=[1101]完成，即

(x1,x2)=(u1,u2)F=(u1⊕u2,u2).\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)=\left( {{u}_{1}},{{u}_{2}} \right){\bf F}=\left( {{u}_{1}}\oplus {{u}_{2}},{{u}_{2}} \right).(x1,x2)=(u1,u2)F=(u1⊕u2,u2).

将u1{{u}_{1}}u1和u2{{u}_{2}}u2作为信道输入，y1{{y}_{1}}y1和y2{{y}_{2}}y2作为信道输出，可以得到合并信道W2:X2→Y2{{W}_{2}}:{{\mathcal{X}}^{2}}\to \mathcal {Y}^2W2:X2→Y2，其信道转移概率为

W2(y1,y2∣u1,u2)=W(y1∣u1⊕u2)⋅W(y2∣u2).{{W}_{2}}\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}}|{{u}_{1}},{{u}_{2}} \right)=W\left( {{y}_{1}}|{{u}_{1}}\oplus {{u}_{2}} \right)\cdot W\left( {{y}_{2}}|{{u}_{2}} \right).W2(y1,y2∣u1,u2)=W(y1∣u1⊕u2)⋅W(y2∣u2).

接着，将信道W2{{W}_{2}}W2进行信道拆分，得到两个相关的极化子信道，W2(1)W_{2}^{(1)}W2(1): X→Y2\mathcal{X}\to \mathcal{Y}^{2}X→Y2和W2(2)W_{2}^{(2)}W2(2):X→Y2×X\mathcal{X}\to {{\mathcal Y}^{2}} \times {\mathcal X}X→Y2×X，相应的信道转移概率为

W2(1)(y12∣u1)=12∑u2∈XW2(y12∣u12)=12∑u2∈XW(y1∣u1⊕u2)W(y2∣u2),W_{2}^{(1)}(y_{1}^{2}|{{u}_{1}})=\frac{1}{2}\sum\limits_{{{u}_{2}}\in \mathcal{X}}{{{W}_{2}}(y_{1}^{2}|u_{1}^{2})}=\frac{1}{2}\sum\limits_{{{u}_{2}}\in \mathcal{X}}{W({{y}_{1}}|{{u}_{1}}\oplus {{u}_{2}})W({{y}_{2}}|{{u}_{2}})},W2(1)(y12∣u1)=21u2∈X∑W2(y12∣u12)=21u2∈X∑W(y1∣u1⊕u2)W(y2∣u2),

W2(2)(y12,u1∣u2)=12W2(y12∣u12)=12W(y1∣u1⊕u2)W(y2∣u2).W_{2}^{(2)}(y_{1}^{2},{{u}_{1}}|{{u}_{2}})=\frac{1}{2}{{W}_{2}}(y_{1}^{2}|u_{1}^{2})=\frac{1}{2}W({{y}_{1}}|{{u}_{1}}\oplus {{u}_{2}})W({{y}_{2}}|{{u}_{2}}).W2(2)(y12,u1∣u2)=21W2(y12∣u12)=21W(y1∣u1⊕u2)W(y2∣u2).

经过上述信道合并和拆分操作，完成了一次从(W,W)(W,W)(W,W)到(W2(1),W2(2))(W_{2}^{\left( 1 \right)},W_{2}^{\left( 2 \right)})(W2(1),W2(2))的信道极化变换，表示为(W,W)↦(W2(1),W2(2))(W,W)\mapsto (W_{2}^{(1)},W_{2}^{(2)})(W,W)↦(W2(1),W2(2))。与此同时，两个极化子信道的容量出现了分化，并有如下的关系：

定理：经过(W,W)↦(W2(1),W2(2))(W,W)\mapsto (W_{2}^{(1)},W_{2}^{(2)})(W,W)↦(W2(1),W2(2))的极化变换后，W2(1)W_{2}^{\left( 1 \right)}W2(1)与W2(2)W_{2}^{\left( 2 \right)}W2(2)的信道容量满足

I(W2(1))+I(W2(2))=2I(W),I(W_{2}^{(1)})+I(W_{2}^{(2)})=2I(W),I(W2(1))+I(W2(2))=2I(W),

I(W2(1))⩽I(W)⩽I(W2(2)).I(W_{2}^{(1)}) \leqslant I(W) \leqslant I(W_{2}^{(2)}).I(W2(1))⩽I(W)⩽I(W2(2)).

参考文献
[1] E. Arıkan, “Channel polarization: A method for constructing capacity achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 55, no. 7, pp. 3051–3073, Jul. 2009.

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