极化码：极化码的单项式码(Monomial Codes)表示

极化码可以看做单项式码(monomial codes)
对于一个码长为N=2nN = 2^nN=2n的极化码，生成矩阵为
G=Fn.{\bf G} = {\bf F}^n.G=Fn.极化码的极化子信道可以用单项式形式表示。
给定一个nnn变量单项式
f=x0a0x1a1⋯xn−1an−1,f = x_0^{a_0}x_1^{a_1}\cdots x_{n-1}^{a_{n-1}}, f=x0a0x1a1⋯xn−1an−1,全部单项式构成的集合为
Mn={f∣(a0,a1,⋯,an−1)∈F2n}{\mathcal M}_n = \{f|(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}) \in {\mathbb F}_2^n\} Mn={f∣(a0,a1,⋯,an−1)∈F2n}
单项式fff直接关联到极化码生成矩阵G\bf GG的第lll行，且
l=∑i=0n−1(1−ai)2il = \sum_{i=0}^{n-1}{(1-a_i)2^i} l=i=0∑n−1(1−ai)2i

极化码信息位集合I{\mathcal I}I是Mn{\mathcal M}_nMn的子集，即I∈Mn{\mathcal I}\in {\mathcal M}_nI∈Mn，信息位个数K=∣I∣K = |{\mathcal I}|K=∣I∣。

在此基础上的编码消息多项式为
u(x0,⋯,xn−1)=∑f∈Iuf⋅fu(x_0,\cdots,x_{n-1})=\sum_{f \in {\mathcal I}}{u_f\cdot f} u(x0,⋯,xn−1)=f∈I∑uf⋅f其中，uf∈F2u_f \in {\mathbb F}_2uf∈F2。

参考文献
[1] M. Bardet, V. Dragoi, A. Otmani and J. -P. Tillich, “Algebraic properties of polar codes from a new polynomial formalism,” 2016 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), 2016, pp. 230-234.
[2] M. Geiselhart, A. Elkelesh, M. Ebada, S. Cammerer and S. ten Brink, “On the Automorphism Group of Polar Codes,” 2021 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), 2021, pp. 1230-1235.

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