欠采样dMRI图像矩阵的低秩稀疏分解

数据采样时，采用笛卡尔欠采样方式对空间编码数据进行随机采样，确定欠采样率，对式子3-4中的参数λ1和λ2进行选择，L+S 方法能更有效地去除动态图像中的运动伪影调节参数 λ1和 λ2能够调节优化模型中低秩成分和稀疏成分的权重，改变 λ1和 λ2取值会造成低秩矩阵和稀疏矩阵之间信息的混杂，从而影响低秩矩阵和稀疏矩阵的重建结果。但是由于我们关注的是动态磁共振图像的整体，而不是单独的动态前景或静态背景，改变 λ1和 λ2取值不会造成整体信息的丢失，因此重建算法对 λ1和 λ2的取值要求不严格。(当 λ1和 λ2取值改变较小时不会对重建图像质量造成明显的影响，但是当 λ1和 λ2取值变化较大时，会使重建图像的质量明显下降。)

共三个图像：分别是心脏灌注图像、心脏影像、腹部动态图像

对心脏灌注图像进行低秩稀疏分解（Example1）

加载欠采样数据
输入观测采样信号（即输入观测矩阵kdata）
重建信号，其中所用到的算法是L+S重建（即函数[L,S] = lps_ist(param)）

L+S重建

输入参数

欠采样K空间编码算子（参数E）、稀疏变换算子（参数T）、奇异值阙值（参数λL）、稀疏值阙值（参数λS）；

迭代循环

奇异值软阈值提取低秩成分；软阈值提取稀疏成分；

当（Lk+Sk-（Lk-1+Sk-1））的范数<参数tol*（Lk-1+Sk-1的范数）停止迭代；

输出L、S的值。

算法流程步骤

Example1 图像低秩稀疏处理流程

心脏灌注图像低秩稀疏处理

Example1 L+S重建算法流程图

L+S重建流程图

程序部分

部分程序代码用法

Function

用来定义函数，一般一个函数放在一个.m文件里。

假设定义比如最简单的一个函数如y=a+b。

例：function y=myfunction(a,b)

y=a+b;

保存为一个m文件myfunction.m，调用方式如下。

num=myfunction(3,4);

这样就可以由函数中的y=a+b得到num的值是3+4=7。

Reshape

b=reshape(a,m,n)与reshape（a，[m,n]）

把矩阵a以列为单位，拆分，形成一个一列的向量，在间隔新的矩阵的行数，选值，形成新的要求的矩阵。若对向量b进行reshape也可还原成原矩阵b的结构。

zeros(m,n)

生成m×n全零阵

[U,S,V]=svd(A)

参数说明：A：要进行SVD分解的矩阵，且A不必为方阵。

概括地说，U、S、V返回SVD的分解的结果；

U：A的奇异向量组成的矩阵，AA’的正交单位特征向量组成U。

S：对角矩阵，对角元素是A的奇异值，非负且按降序排列。

V：A的奇异向量组成的矩阵，A’A的正交单位特征向量组成V

Diag

X = diag(v,k)

v为向量，X为矩阵

以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。

例：

>> v=[1 2 3];

>> x=diag(v,-1)

x =

0 0 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

v=diag(X,k)

X为矩阵，v为向量

取矩阵X的第K条对角线元素为向量v

例：

>> aa=randn(3,3)

aa =

-1.3282 -1.7925 0.4092

-0.3803 0.5858 -0.4684

-0.9560 0.7356 0.8292

>> diag(aa)

ans =

-1.3282

0.5858

0.8292

>> diag(aa,1)

ans =

-1.7925

-0.4684

>> diag(aa,2)

ans =

0.4092

(6) Abs

数值的绝对值和复数的幅值

基本用法：y=abs(x)函数对数组元素进行绝对值处理的函数。

函数的定义域包括复数。

对于复数x=a+b*i，有abs(x)=a2+b2。

(7) Isnan

判断数组中的元素是否为无穷大

tf=isnan(A)：返回一个与A相同维数的数组，若A的元素为NaN（非数值），在对应位置上返回逻辑1（真），否则返回逻辑0（假）。对虚数z，如果z的实部或虚部都是NaN，那么isnan函数返回逻辑1，如果实部和虚部都是inf，则返回逻辑0。

(8) TempFFT

实现三个维度的时间FFT变换

调用子程序

主程序调用此函数[L,S] = lps_ist(param)，此函数的定义位于 lps_ist.m 文件中，，通过修改文件名可以实现直接被调用.m文件。

其功能即是实现欠采样数据的L+S重建，在实验流程图中有很详细的介绍。

程序实现

所给参考代码所处的图像如下：

心脏灌注图像

心脏影像