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实验三随机过程通过线性系统的分析

实验目的

理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

实验原理

白噪声通过线性系统

设连续线性系统的传递函数为或，输入白噪声的功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为

(3.1)

输出自相关函数为

(3.2)

输出相关系数为

(3.3)

输出相关时间为

(3.4)

输出平均功率为

(3.5)

上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性决定，不再是常数。

等效噪声带宽

在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

实际系统的等效噪声带宽为

(3.6)

或

(3.7)

线性系统输出端随机过程的概率分布

正态随机过程通过线性系统

若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。

随机过程的正态化

随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

实验内容

设白噪声通过图3.1所示的RC电路，分析输出的统计特性。

图3.1 RC电路

试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

系统的传递函数为：

系统的功率谱密度为：

系统的自相关函数为：

系统的相关时间为：

系统的等效噪声带宽为：

采用MATLAB模拟正态分布白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。

实验代码：

注释：

>> a=[1]; 分子的系数

>> b=[1,1]; 分母的系数

>> sys=tf(a,b); 生成RC系统的传递函数

>> t=0:1:49; 选取0到50为打出函数的区间

>> x=randn(50,1); 生成正态分布白噪声

>> lsim(sys,'g',x,t); 画出系统的输入输出图

>> k=lsim(sys,x,t); 求出系统的输出

>> y=ksdensity(k); 求出系统输出的概率密度

>> plot(y); 画出输出的概率密度图

实验结果：

输入和输出的噪声波形

概率密度

模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。

实验代码：

注释

>> a=[1]; 分子的系数

>> b=[1,1]; 分母的系数

>> sys=tf(a,b); 生成RC系统的传递函数

>> t=0:1:99; 选取0到100为打出函数的区间

>> x=rand(100,1); 生成均匀分布白噪声

>> lsim(sys,'g',x,t); 画出系统的输入输出图

>> k=lsim(sys,x,t); 求出系统的输出

>> y=ksdensity(k); 求出系统输出的概率密度

>> plot(y);

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